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Unterscheidung von Kegelschnitten
Universität / Fachhochschule
Tags: Kegelschnitt
 
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Hallo Leute, ich bin fast Jahre alt, interessiere mich aber immer noch für mathematische Problemstellungen, um geistig etwas fit zu bleiben. Ich habe da mal eine fachliche Anfrage. Die Gleichung beschreibt bekanntlich grundsätzlich einen Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel). Gibt es irgend ein möglichst elegantes/einfaches Verfahren, um anhand dieser Gleichung vorab schon mal entschieden zu können, um was für einen Kegelschnitt es sich dabei nur handeln kann? Letztlich läuft das wohl auf eine Kegelschnitt-Diskussion hinaus. Leider habe ich keinerlei Ahnung, wie diese fachlich korrekt durchzuführen wäre. Kann mir irgend jemead dabei etwas helfen? Vorab schon mal vielen Dank an alle. Mit netten Grüßen Revilo Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Gibt es irgend ein möglichst elegantes/einfaches Verfahren, um anhand dieser Gleichung vorab schon mal entschieden zu können, um was für einen Kegelschnitt es sich dabei nur handeln kann? Naja, elegant/einfach sind relative Begriffe ;-) Mach dich mal im Netz unter dem Stichwort "Hauptachsentransformation" schlau. Falls du selbst was rechnen möchtest und eine Kontrolle benötigst - bei Arndt Brünner www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenmatrix.htm bekommst du es vorgerechnet. |
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Revilo, auf dem Profilbild siehst Du viel jünger aus. Aber komisch, dass viele sich hier immer so erklären. Hey, von mir aus kannst Du oder 5 sein, nur der Funke muss überspringen ! Also, zum Thema, auch wenn schon geschlossen (warum ?). Ich hab mal eine dieser Formelsammlungen "bis zum Abitur" durchgearbeitet und bin da auch Kegelschnitten begegnet. Als selbstgestelte Aufgabe habe ich dann einfache Ebenen mit dem (Norm-)Kegelmantel geschnitten und das Ganze in die übliche Formel überführt. Zum Schmökern, viel Spaß !  |
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Hallo Roman-22 vielen Dank für einen Hinweis auf die Hauptachsentransformation von Arndt-Brünner. Ich habe inzwischen etwas weiter geforscht. Dabei stieß ich auf zerfallende und nicht zerfallende Kegelschnitte. Die nicht zerfallenden Kegelschnitte sind dabei offenbar die Kegelschnitte, die man landläufig kennt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel). Zerfallende Kegelschnitte liefern offenbar immer 2 Geraden als Paar: Entweder 2 parallele relle Geraden: Ich vermute mal, daß dabei die Spitze des Kegels irgendwo im Unendlichen liegt, der Kegel anschaulich also eher ein Zylinder ist. oder 2 sich schneidende reelle Geraden mit Schnittpunkt: Dieser Fall tritt wohl dann auf, wenn die Schnittebene genau durch die Kegelspitze geht und senkrecht auf der Grundfläche des Kegels steht. Der Schnittpunkt wäre dann praktisch exakt die Spitze des Kegels. oder 2 sich schneidende immaginäre Geraden mit Schnittpunkt: Dieser Fall tritt wohl dann auf, wenn die Schnittebene exakt durch die Spitze des Kegels geht, aber parallel zu dessen Grundfläche liegt. Wäre sie um einen bestimmten Winkel geneigt, würde sie den Kegel bei entsprechender Größe irgendwann treffen/schneiden. Vermutung: Der Schnittpunkt in diesem Fall wird wohl ebenfalls die Spitze des Kegels sein. Frage: Wie kann man sich imaginäre Geraden geometrisch vorstellen? Wie berechnet man deren Schnittpunkt? PS: Ich habe etwas Grundlagenkenntnis über imaginäre/komplexe Zahlen (Gaußsche Zahlenebene). LG Revilo |
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Die nicht zerfallenden Kegelschnitte sind dabei offenbar die Kegelschnitte, die man landläufig kennt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel). Ich würde nicht zwangsläufig zwischen Ellipse und Kreis unterscheiden. Du unterscheidest ja auch nicht zwischen Hyperbel und gleichseitiger Hyperbel. Das eine ist halt ein Spezialfall des anderen in der euklidischen Geometrie. Zerfallende Kegelschnitte liefern offenbar immer 2 Geraden als Paar: Ja Entweder 2 parallele relle Geraden: Ich vermute mal, daß dabei die Spitze des Kegels irgendwo im Unendlichen liegt, der Kegel anschaulich also eher ein Zylinder ist. Ja, das wird nur bei einem Zylinder möglich sein oder 2 sich schneidende reelle Geraden mit Schnittpunkt: >Dieser Fall tritt wohl dann auf, wenn die Schnittebene genau durch die Kegelspitze geht Ja und senkrecht auf der Grundfläche des Kegels steht. Nein! Das ist keinesfalls nötig! Ganz abgesehen davon, dass ein Kegel, so wie er hier geometrisch zu verstehen ist, ja gar keine Grundfläche hat, da er ja unbegrenzt ist. Eine Gerade (Erzeugende), welche um eine sie schneidende Gerade rotiert, erzeugt einen Drehkegel. Der Schnittpunkt wäre dann praktisch exakt die Spitze des Kegels. Ja oder 2 sich schneidende immaginäre Geraden mit Schnittpunkt: Dieser Fall tritt wohl dann auf, wenn die Schnittebene exakt durch die Spitze des Kegels geht, Ja aber parallel zu dessen Grundfläche liegt. Nein! Siehe oben. Du hast in deiner Aufzählung den Fall, dass die Ebene eine Tangentialebene des Kegels ist, vergessen. In diesem Fall hat sie nur eine Gerade mit dem Kegel gemeinsam, die aber doppelt zu zählen ist, also in gewissem Sinn auch wieder 2 Geraden. Diese Lage der Ebene ist eben der Grenzfall zwischen dem Fall mit den zwei verschiedenen Geraden und den beiden nicht-reellen. Wäre sie um einen bestimmten Winkel geneigt, würde sie den Kegel bei entsprechender Größe irgendwann treffen/schneiden. ????? Vermutung: Der Schnittpunkt in diesem Fall wird wohl ebenfalls die Spitze des Kegels sein. Natürlich! Ein zerfallender Kegelschnitt kann ja nur entstehen, wenn die Schnittebene die Kegelspitze enthält und diese ist somit Teil des zerfallenden Schnitts - manchmal eben der einzige reelle Teil des Schnitts. Frage: Wie kann man sich imaginäre Geraden geometrisch vorstellen? Vermutlich gar nicht wirklich. Wie berechnet man deren Schnittpunkt? So wie im reellen Fall auch. Da ist kein wesentlicher Unterschied. Du kannst ja zB gern mal versuchen, den Schnittpunkt folgender beiden Geraden und zu ermitteln. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht geirrt habe, sollte er reell sein . |
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