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Unterschied: Lineare Hülle und Erzeugendensystem?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Erzeugendensystem, Lineare Hülle, Vektorraum

bachatz aktiv_icon

18:23 Uhr, 19.10.2009

Hallo Freunde der Sonne,
ich habe die Begriffe Lineare Hülle, und Erzeugendensystem in der Vorlesung nicht so richtig verstanden. Und jetzt hänge ich auch über dem Skript, und das Ganze sieht mir immer noch sehr kryptisch aus.
Unser Prof hat in der Vorlesung die lineare Hülle wie folgt definiert:\\

(L (M) = v \in V :

es gibt

v_{1}, . . ., v_{n} \in M

und

a_{1}, . . ., a_{n} \in K

, mit

v = v_{1} * a_{1}, . . ., v_{n} * a_{n}

Ein Erzeugendensystem ist laut Skript die Menge M, wenn L(M)=V. Hierbei ist V ein Vektorraum über K und M eine nichtleere Teilmenge von V
Ist das identisch, also ist jede lineare Hülle auch ein Erzeugendensystem und andersherum? Oder geht das nur in eine Richtung? Danke schonmal!

michaL aktiv_icon

22:58 Uhr, 19.10.2009

Hallo Benedikt,

Man sollte erst einmal erklären, was eine Linearkombination ist. Linear kombinieren kann man (endlich viele) Vektoren. Also jede Summe

λ_{1} \vec{v_{1}} + λ_{2} \vec{v_{2}} + \dots + λ_{n} \vec{v_{n}}

nennt man eine Linearkombination der Vektoren

\vec{v_{1}}, \dots, \vec{v_{n}}

.

Ist das erst mal klar? Eigentlich möchte man eben Vektoren (und Vielfache davon) addieren und muss dem einen Namen geben. Zum Beispiel liegen alle Linearkombinationen zweier nicht kollinearer Vektoren in einer Ebene.

Tja, zu einer gegebenen Menge

M := {\vec{v_{1}}, \dots, \vec{v_{n}}}

kann man jetzt die Menge aller Linearkombinationen anschauen. Diese Menge kürzt man mit

L (M)

ab. Darin sind alle Vektoren enthalten, die sich aus Summen von Vielfachen der Vektoren

\vec{v_{1}}, \dots, \vec{v_{n}}

darstellen lassen. Im Falle wieder zweier linear unabhängiger Vektoren ist das dann die Ebene, die sie aufspannen. Manchmal (damals in meiner Vorlesung) wurde

L (M)

auch mit

Span(M)

bezeichnet.

Ist damit der Begriff Lineare Hülle (=Spann) klar?

Dann weiter.

M := {\vec{v_{1}}, \dots, \vec{v_{n}}}

heißt ein Erzeugendensystem einer Vektormenge

V

, wenn
* mathematisch:

L (M) = V

gilt,
* sprachlich: die von

M

aufgespannte Menge glecih

V

ist.
Insbesondere ist dann jeder Vektor

\vec{v} \in V

eine Linearkombination der Vektoren aus

M

.

HTH

Mfg Michael

m-at-he

23:01 Uhr, 19.10.2009

Hallo,

bachatz kennt die Lösung bereits seit

18 : 34

Uhr und hat sicher nur keine Ahnung, daß man dann die Frage als beantwortet kennzeichnen kann oder er hatte gerade keine Zeit und holt das sicher später nach, genauso wie den Dank an alle für die Hilfe!

bachatz aktiv_icon

23:09 Uhr, 19.10.2009

Stimmt, das habe ich ein bisschen verdüst. Aber danke euch beiden für die Antworten, beide sehr gut zu gebrauchen :-)

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