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Unterschied Sekantenverfahren und Regula Falsi?

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Regula Falsi, Sekantenverfahren

Manhattan89 aktiv_icon

23:10 Uhr, 19.04.2011

Wo liegt der Unterschied zwischen den beiden Verfahren?

Bzw. wenn ich mir beide Verfahren grafisch anschaue:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Sekantenverfahren_Ani2.gif&filetimestamp=20091003215122

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Regula_falsi.gif&filetimestamp=20060207235626

dann wird da doch genau das selbe gemacht.

Nur iwie sind die Formeln verschieden, damit meine ich:
Sekantenverfahren:

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{f (x_{n}) - f (x_{n - 1})} \cdot f (x_{n})

Regula Falsi:

c_{n} = a_{n - 1} - \frac{b_{n - 1} - a_{n - 1}}{f (b_{n - 1}) - f (a_{n - 1})} \cdot f (a_{n - 1})

x_{n}

müsste

a_{n - 1}

sein, allerdings auch

b_{n - 1},

das passt doch nicht, also sind die Formeln verschieden, obwohl, wenn ich mir die beiden Gif-Dateien anschaue, genau das gleiche gemacht wird?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Yokozuna aktiv_icon

23:51 Uhr, 19.04.2011

Hallo,

wenn ich bei der Regula Falsi den Zähler und Nenner des Bruchs mit

- 1

multipliziere, erhalte ich:

c_{n} = a_{n - 1} - \frac{b_{n - 1} - a_{n - 1}}{f (b_{n - 1}) - f (a_{n - 1})} \cdot f (a_{n - 1}) = a_{n - 1} - \frac{a_{n - 1} - b_{n - 1}}{f (a_{n - 1}) - f (b_{n - 1})} \cdot f (a_{n - 1})

und wenn ich jetzt

a_{n - 1}

durch

x_{n}, b_{n - 1}

durch

x_{n - 1}

und

c_{n}

durch

x_{n + 1}

ersetze, sieht die Formel genauso aus, wie beim Sekantenverfahren. Die beiden Verfahren sind aber trotzdem nicht gleich.

Beim Sekantenverfahren lege ich eine Gerade durch die Punkte

(x_{0}, f (x_{0}))

und

(x_{1}, f (x_{1}))

und berechne die Nullstelle dieser Geraden

(= x_{2})

. Nun lege ich wiederum eine Gerade durch die Punkte

(x_{1}, f (x_{1}))

und

(x_{2}, f (x_{2}))

und berechne wieder die Nullstelle

(= x_{3})

usw.

Bei der Regula Falsi muß ich zu Beginn zwei Punkte

a_{0}

und

b_{0}

bestimmen, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben. Im Gegensatz zum Sekantenverfahren bin ich bei der Regula Falsi also sicher, daß zwischen

a_{0}

und

b_{0}

eine Nullstelle liegt und diese Bedingung muß auch für alle folgenden

a_{k}, b_{k}

gelten. Ich berechne also

c_{1}

und setze dann:

a_{1} = c_{1}

und

b_{1} = b_{0},

falls

f (a_{0})

und

f (c_{1})

das gleiche Vorzeichen haben,

b_{1} = c_{1}

und

a_{1} = a_{0},

falls

f (b_{0})

und

f (c_{1})

das gleiche Vorzeichen haben

Damit ist gewährleistet, daß auch

f (a_{1})

und

f (b_{1})

unterschiedliche Vorzeichen haben. In diesem Sinne macht man weiter.

Viele Grüße
Yokozuna

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