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Unterschied zwischen Bijunktion, Äquivalenzrelatio
Universität / Fachhochschule
Tags: Äquivalenzrelation, Aussagenlogik, Bijunktion, Funktion
 
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Hi Leute Ist die Äquivalenz eine Funktion, wenn ja ist sie wohl nicht eindeutig oder? Was ist der Unterschied zwischen Äquivalenz und Äquivalenzrelation, rein formal? Kann man auch die Aquivalenzrelation als Funktion betrachten? Ich weiss nur, dass die Bijunktion eine Funktion ist, auch ist mir bekannt was eine Äquivalenzrelation ist. In keinem Tutorium steht die volle Wahrheit über diese Sachen, die meisten erklären einfach nur was Äquivalenz ist und fertig. Insgesamt habe ich . Stunden in Google gesucht. |
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Hallo, eine Äquivalenzrelation ist erst einmal eine Teilmenge von einer Menge , die symmetrisch, transitiv und reflexiv ist (soweit so gut...). Schaut man sich nun die mengentheoretische Definition einer Funktion an ( de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29, so sieht man schnell, dass eine Relation keine Funktion ist. Wäre eine Funktion , dann dürfte es für nur genau ein geben, so dass . Dass ist i.d.R. aber nicht der Fall, denn eine Äquivalenzklasse hat normalerweise mehrere Elemente und zu denen ist dann immer in Relation. Als Funktion ist somit nicht rechtseindeutig, was der Definition einer Funktion widerspricht (kurz: derselbe Wert im Definitionsbereich hätte unter der "Funktion" mehrere Funktionswerte...). Nun kann man aber auf der Grundmenge einer Relation eine Funktion definieren: wenn und wenn . Diese Funktion macht nichts anderes, als zu überprüfen, ob zwei Elemente und zueinander Äquivalent sind. Wie dem auch sei, eine "Äquivalenz" von Aussagen ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller wahren mathematischen Aussagen. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind hier trivialer Weise gegeben. So gesehen ist eine Äquivalenz eine spezielle Äquivalenzrelation, aber Äquivalenzrelationen (und somit Äquivalenz) sind keine Funktionen. Die oben definierte Funktion auf den Aussagen wäre dann die Bijunktion. Beste Grüße Sina |
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Hi Danke für die Antwort. Aber ich habe noch eine Frage. Du hast geschrieben "eine "Äquivalenz" von Aussagen ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller wahren mathematischen Aussagen." Nicht eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller mathematischen Aussagen? Ist die Äquivalenz nicht die Teilmenge von AxA wobei A alle Mathematischen Aussagen ist? Oder meinst du die Äquivalenz ist die Teilmenge: von ? Was heisst auf der Menge aller wahren Aussagen? Wie drückt man das mathematisch aus? |
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