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Unterschied zwischen Familien und Mengen?
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Tags: Determinant, Eigenwert, Familien, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Sonstig, Vektorraum
 
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Guten Morgen, Leute! Dieses mal hänge ich nicht bei einer Aufgabe fest, sondern bei einem Begriff. Ich bearbeite das ganze Skript für die kommende Klausur wieder durch und sehe, dass der Begriff der Linearen Unabhängigkeit ( allgemein definiert mein Prof. viele Begriffe mit der Familie ) mit dem Begriff "Familie" ausgedrückt wird. Eine Definition aus meinem Skript: Eine endliche Familie von Vektoren x1,...,xn ∈ heißt linear unabhängig, wenn aus λ1 · . λn · xn stets λ1 . = λn folgt, . wenn nur die triviale Linearkombination der "xi" Null ergibt. Wir sagen dann oft einfach, die Vektoren x1,...,xn seien linear unabhängig. Ich verstehe die Definition, da ich mir die Familie einfach als eine Menge vorstelle. Aber was genau das sein soll, weiß ich nicht. In vielen Foren und auch im Internet (Ja, auch auf Wikipedia) steht, was eine Familie sein soll. Also eine Menge mit bestimmten Eigenschaften... In manchen Foren, auch in diesen, lese ich, dass eine Familie eine Menge ist, bei der die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielen. Zudem darf man nicht öfters auftauchende gleiche Elemente zu einem Element zusammenfasssen. Nirgends finde ich ein verständliches Beispiel für eine Familie... Ist das wirklich so speziell? Falls ja, dann habe ich Pech, dass mein Prof. ausgerechnet mit diesem Begriff ständig arbeitet. Kann mir da jemand irgendwie helfen? Es wäre super, wenn ihr mir anhand eines einfachen Beispiels den Unterschied zwischen einer Familie und einer "normalen" Menge erklären könntet... Und was genau ist der Sinn dahinter? Wieso benutzt mein prof. nicht eine ganz normale Menge um Begriffe zu definieren? Was für ein Sinn macht es, dafür extra die Familie zu verwenden? Und wenn es schon um Familien geht,... was ist eine Teilfamilie? Kann mir da jemand helfen? Bin echt verzweifelt, weil ich das verstehen will, aber ich es nicht verstehe! Ich bedanke mich schon mal im Voraus Felix Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, gemäß Pythagoras (ihm wird der Sinnspruch "Alles ist Zahl." zugeschrieben) rufe ich aus: Alles ist Menge. Die moderne Mathematik fußt in jedem Bereich auf dem Begriff der Menge. Insofern sind auch Familien "nur" Mengen, wie es auch Abbildungen, Topologien, Gruppen etc. sind. Ich verstehe unter einer Familie die (oft injektive) Abbildung einer (nicht näher spezifizierten) Menge (Indexmenge) in eine andere Menge (und auf deren Elemente kommt es zumeist an.): Statt (für ) schreibt man dann meist kurz als Mitglied der Familie. Für die ganz Familie notiert man gern (man beachte die Verwandschaft zu Folgen) oder , wobei letzteres nichts anderes ist als das Bild von unter , also (oder manchmal auch ). Mit dieser letzten Schreibweise wird auch wieder deutlich, dass es sich wieder um eine Menge handelt. Eine endliche Familie ist eine, bei der die Urbildmenge endlich ist. Vergleiche: de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik) (Wobei ich mit vielem, nicht aber mit allem auf der Seite übereinstimme.) Mfg Michael |
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