Unterschied zwischen Körper und Vektorraum ?

Hallo zusammen,

ich habe gerade versucht einer Kollegin den Unterschied zwischen einem Körper und einem Vektorraum zu erklären, und dabei gemerkt das ich ihn selber irgendwie nicht so richtig kenne...

Ich seh das Ganze so:
Ein Körper ist eine geordnete Menge, auf der zusätzlich zwei Operationen Addition und Multiplikation definiert sind. Ein Körper muss folgenden Forderungen genügen:

- Kommutativität, Assoziativität und Distributivität bezüglich Addition bzw Multiplikation.
- Existenz je eines neutralen Elementes bezüglich Addition und Multiplikation
- Existenz eines additiven und eines multiplikativen Inversen
- Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation.

Kommen wir zum Vektorraum:
Ein Vektorraum ist auf einem Körper definiert. Der Vektorraum enthält als Elemente Vektoren, wobei ein Vektor aus mehreren Elementen des zugrundeliegenden Körpers bestehen kann. Der Vektorraum enthält aber auch die Elemente des zugrundeliegenden Körpers, welche man Skalare nennt.

Beim Vektorraum ist nun zusätzlich die Addition von Vektoren definiert, die wiederum assoziativ und kommutativ sein muss.
Auch muss wieder ein neutrales Element, welches eindeutig ist, existieren. (a + (-a) = neutrales element -> Nullvektor)
Ausserdem ist die multiplikative Verknüpfung von Skalaren und Vektoren so definiert dass sie folgende Forderungen erfüllt:
- Distributivität: (k+h)*v = k*h + k*v
- (k*h)*v = k*(h*v)
- existenz eines neutralen Elements bez. Multiplikation: 1*v = v
(v ist Vektor, h und k Skalare)

Eine Definiton für die Multiplikation von Vektoren mit Vektoren ist also NICHT Teil der Vektorraumaxiome ?

Gruss
Mischa