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Unterschied zwischen Punkt und Vektor
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 18:52 Uhr, 28.04.2004  |
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Neulich hat mich mein Lehrer angepfiffen, weil ich behauptet habe, es gäbe keinen Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor (unser CAS-Programm Maple behandelt sie praktisch gleich). Welche Eigenschaft diese Begriffe unterscheidet, konnte er allerdings auch nicht plausibel erklären. Punkte haben keine math. Definition, sondern gehören zu den Axiomen der Geometrie. Kann man dann sagen, ein Punkt und ein Vektor sind nicht dasselbe? |
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Hallo, das, was dein Lehrer vermutlich meinte, findest du etwa hier erklärt: www.codeworx.org/cpp_tuts_1_2.php Demnach ist ein Punkt P (faßt man ihn (im IR^n) als Vektor vom Ursprung zum Punkt P innerhalb des 'Vektorraumes' auf; also wenn man einen Punkt durch seine 'Koordinaten' charakterisiert) 'nur' ein Repräsentant einer "Klasse von Vektoren". Z.B. ist der Punkt (0,1) Repräsentant des Vektors von A nach B mit A=(2,1) und B=(2,2), aber ebenso Repräsentant des Vektors von C nach D mit C=(2,2) und D=(2,3) etc. Man identifiziert dann den Vektor von A nach B mit (0,1), weil B-A=(0,1); so etwas ähnliches (natürlich nur in Analogie) macht man z.B. bei der Bruchrechnung: -2/-4=1/2, weil -2*2=1*(-4) gilt! Allerdings ist es genau genommen viel komplizierter. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes. Ein Vektorraum ist eine Menge, auf der gewisse, sagen wir mal, (Rechen-)Operationen definiert sind (genauer: siehe Vektorraumaxiome). Da jeder Vektorraum eine Basis besitzt (was im übrigen gar nicht trivial ist), kann man jeden Vektor in eindeutiger Weise durch Linearkombinationen von Basisvektoren darstellen. Die Basis ist aber (i.A.) nicht eindeutig, d.h. es gibt (i.A.) mehrere Basen... Aber: Mithilfe einer (festen) Basis kann man dann einen Koordinatenvektor definieren (zumindest bei endlicher Dimension; bei unendlicher Dimension gibt es dann eine "Koordinatenfolge"; ich kenne die genaue Bezeichnung dafür nicht, meine Wahl passt auch nicht ganz, wenn eine Basis überabzählbar viele Elemente enthält...), die Koordinaten sind dann die Koeffizienten, die man benötigt, um aus den Basiselementen des Vektorraumes den Vektor "linearzukombinieren". Die Eindeutigkeit dieser Koeffizienten haben wir dann (bzgl. einer festen Basis), weil sich ja jeder Vektor (bzgl. einer festen Basis) in eindeutiger Weise aus den Basiselementen linearkombinieren läßt. Und dann kann man wieder ähnlich argumentieren wie oben... Allerdings: Sind B1 und B2 zwei (verschiedene) Basen, so hat (fast) jeder Vektor des Vektorraums auch eine andere Koordinatendarstellung (also: die eindeutige Koordinatendarstellung bzgl. B1 ist eine andere als die eindeutige Koordinatendarstellung bzgl. B2; Ausnahme: Nullvektor). Die Koordinatendarstellung ist eindeutig bzgl. einer fest gewählten Basis. Ändert man die Basis, so hat man ja andere Basiselemente "linearzukombinieren", um den Vektor bzgl. der neuen Basis zu erhalten. Wenn ich hier jetzt etwas Falsches geschrieben habe, so bitte ich, dies zu entschuldigen und hoffe, dass jemand anderes es korrigiert. Denn allzuviele Gedanken habe ich mir eigentlich noch nie gemacht, was der Unterschied zwischen einem Vektor und einem Punkt ist. Wegen der oben angegebenen Identifikation weiß ich auch nicht, warum man sich dazu allzuviele Gedanken machen sollte. Aber ich wäre auch dran interessiert, wie es korrekt zu formulieren wäre, sollte ich etwas Falsches geschrieben/gedacht haben... Viele Grüße Marcel |
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Hallo nochmal, vielleicht hilft dir das aber auch weiter: (*) de.wikipedia.org/wiki/Vektor_(Mathematik) [Zitat] Vektoren sind nomalerweise ungebunden, das heißt, sie haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher als die Menge aller "Pfeile", die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden. [Zitat Ende] Aber ehrlich gesagt: Ein Vektor mit einer "Menge von Pfeilen" gleichzusetzen missfällt mir ganz gewaltig (die Aussage hilft vielleicht etwas, wenn man sich unbedingt etwas vorstellen will; sie ist aber sehr waage! Oben habe ich versucht, dir nahezulegen, warum man sich das vielleicht so vorstellen kann; es ist aber (meiner Ansicht nach) immer noch nicht ausführlich genug begründet...) Für mich ist ein Vektor einfach ein Element eines Vektorraumes, und dem Vektorraum liegen gewisse Axiome zugrunde... Warum man zu einem Element des Vektorraums nicht auch Punkt sagen könnte (anstatt Vektor), weiß ich nicht. Manchmal wird das, glaube ich, sogar gemacht... Eigentlich ist das, wie so vieles in der Mathematik, auch nur eine Definitionssache ;-) Achja, und hier auch noch etwas: de.wikipedia.org/wiki/Punkt PS: Was ich oben so formuliert habe: > faßt man ihn (im IR^n) als Vektor vom Ursprung zum Punkt P innerhalb > des 'Vektorraumes' auf; also wenn man einen Punkt durch seine 'Koordinaten' > charakterisiert steht etwas besser (und ausführlicher) in dem Link (*) bei Wikipedia so formuliert: [Zitat] Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ausgangspunkt. Sie können zum Beispiel, als so genannte Ortsvektoren, die Position eines Punktes im Raum angeben. [Zitat Ende] Viele Grüße Marcel |
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anonymous 01:56 Uhr, 16.12.2004 |
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Hallo, eine Sache ist nicht richtig dargestellt: Auch wenn ein Vektorraum unendliche (abzählbar, überabzählbar) Dimension besitzt, so ist jedes Element eine endliche Linearkombination von Basiselementen. Unendliche Linearkombinationen werden i.A. nicht betrachtet, da hierbei Elemente entstehen können, die nicht im Vektorraum liegen (z.B. bei Q). Also noch mal: Wenn B eine Basis eines VR ist, so ist span(B) als die Menge aller endlichen Linaerkombinationen von Vektoren aus B definiert. Für verschiedene Elemente des VR brauche ich evtl. auch unterschiedlich viele Basisvektoren, immer aber nur eine endliche Anzahl. Daher können diese Koordinaten auch (im Prinzip) zu jedem Punkt angegeben werden, selbst wenn man die Basis als Ganze prinzipiell nicht aufschreiben kann, weil sie überabzählbar viele Elemente besitzt. Grüße |
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Hallo Janupel, danke für diesen Hinweis bzw. diese Korrektur, auch, wenn die Frage schon veraltet ist! Ich setze den Status der Frage mal auf erledigt! :-) Viele Grüße, Marcel |
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