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Untersuchen auf Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

JonSchnee aktiv_icon

14:35 Uhr, 20.05.2020

Hallo :-)
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls ihren Grenzwert:

a_{n} = \sqrt[n]{n^{2} + 13^{n} - 1}

Mein Weg:

\sqrt[n]{n^{2} + 13^{n} - 1} = \sqrt[n]{13^{n} (\frac{n^{2}}{13^{n}} + 1 - \frac{1}{13^{n}})} = \sqrt[n]{13^{n}} \cdot \sqrt[n]{\frac{n^{2}}{13^{n}} + 1 - \frac{1}{13^{n}}} = \sqrt[n]{13^{n}} \cdot \sqrt[n]{n^{2} \cdot {(\frac{1}{13})}^{n} + 1 - {(\frac{1}{13})}^{n}}

{(\frac{1}{13})}^{n} \to 0

Also:

\sqrt[n]{13^{n}} \cdot \sqrt[n]{n^{2} \cdot 0 + 1 - 0} = \sqrt[n]{13^{n}} \cdot \sqrt[n]{1} = \sqrt[n]{13^{n}} = 13

:-D)
Freue mich auf jede Hilfe und jeden Hinweis und etwas lernen zu dürfen/können :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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f (x)

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Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

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\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

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14:57 Uhr, 20.05.2020

Dein Weg ist richtig.
Es hätte aber genügt

13^{n}

zu betrachten, das gegen den Rest gewinnt, den man
vernachlässigen könnte.

HAL9000

15:04 Uhr, 20.05.2020

> Dein Weg ist richtig.

Das würde ich verneinen, zumindest einige Schritte betreffend: Eine Grenzwertbegründung a la

lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot {(\frac{1}{13})}^{n} \overset{?}{=} lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot [lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{13})}^{n}] = lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot 0 = 0

ist durch keinen Grenzwertsatz gedeckt: Wenn ich z.B.

{(\frac{1}{13})}^{n}

durch

\frac{1}{n}

ersetze, dann steht da

lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot \frac{1}{n} \overset{?}{=} lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot [lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}] = lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot 0 = 0

... absurd.

JonSchnee aktiv_icon

17:19 Uhr, 20.05.2020

>

Das würde ich verneinen, zumindest einige Schritte betreffend: Eine Grenzwertbegründung a la ist durch keinen Grenzwertsatz gedeckt
Ich kann dem nicht folgen, wieso ist es absurd? :-)

"Die meisten der dann nötigen Teilabschätzungen beruhen nun auf

lim_{n \to \infty} p (n) \cdot q^{n} = 0,

gültig für alle reellen (oder sogar komplexen) Zahlen

q

mit

| q | < 1

sowie Potenzfunktionen/Polynomen

p

. In deinem Fall lassen sich die Terme"

\frac{n^{2}}{13^{n}} = n^{2} \cdot q^{n}

mit

q := \frac{1}{13}

\frac{1}{13^{n}} = 1 \cdot q^{n}

mit

q := \frac{1}{13}

"alle in dieses Schema einordnen."

Könnte man bei

n^{2} \cdot \frac{1}{n}

nicht

\frac{n^{2}}{n} = n

machen?

HAL9000

17:33 Uhr, 20.05.2020

Ich bezweifle nicht, dass

lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot {(\frac{1}{13})}^{n} = 0

ist - dazu hast du das richtige Zitat aus dem anderen Thread herausgesucht: Jawohl, das ist eine Möglichkeit, das sauber zu begründen.

Mein Kritik bezieht sich stattdessen explizit darauf, wie du das oben dargestellt mit diesem

> Also:

\sqrt[n]{1 3^{n}} \cdot \sqrt[n]{n^{2} \cdot 0 + 1 - 1}

weil das unter der rechten Wurzel suggeriert, dass du genauso falsch vorgegangen bist, wie ich es im letzten Beitrag dargestellt habe!

Dass du jetzt die richtigen Argumente vorbringst, ist spät, aber nicht zu spät. :-)

JonSchnee aktiv_icon

00:07 Uhr, 21.05.2020

Weißt du/jemand wie diese Regel heißt? :-D)
Oder zusätzliches nützliches Material? :-)

JonSchnee aktiv_icon

00:13 Uhr, 21.05.2020

Und ich denke ich verstehe deine Kritik. Du möchtest vermitteln, dass ich mich um eine saubere Schreibweise bemühen sollte? 0 kommt ja nicht wirlklich raus sondern nur bei

lim_{n \to \infty}

Danke :-)
Hoffe das habe ich so richtig verstanden :-)

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