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Untersuchen, ob eine Gruppe vorliegt

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

 
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lap00g

lap00g

15:10 Uhr, 21.02.2019

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Hallo,

gegeben sind zwei Gruppen:
(G,*) und (H,)

Es soll untersucht werden, ob (G×H,) mit (a,b)(c,d)=(a*c,bd) ebenfalls eine Gruppe ist.

Gruppenaxiome:
(0) Abgeschlossenheit
G×H={(a,b)aGbH}

Da G eine Gruppe ist, ist sie per Definition abgeschlossen, weshalb auch a*c mit aG und cG abgeschlossen ist. Analog für H.

(i) Assoziativität
((a,b)(c,d))(e,f)=(a,b)((c,d)(e,f)),
was schlussendlich in
(a*c*e,bdf)=(a*c*e,bdf) resultiert.

(ii) Neutrales Element
(a,b)(e1,e2)=(a*e1,be2)=(a,b)

In G und H existieren die neutralen Elemente, da es sich um Gruppen handelt. Somit ist auch dieses Axiom gegebenen.

(iii) Inverses Element
(a,b)(aʹ,bʹ)=(a*aʹ,bbʹ)=(e1,e2)

In G und H existieren die neutralen Elemente, da es sich um Gruppen handelt. Somit ist auch dieses Axiom gegebenen.



Antwort: (G×H,) mit (a,b)(c,d)=(a*c,bd) ist ebenfalls eine Gruppe.



Passt das so?

Danke,
lG

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Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:12 Uhr, 21.02.2019

Antworten
Hallo,
passt :-)
Gruß ermanus