Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Untersuchung auf gleichmäßige Stetigkeit

Untersuchung auf gleichmäßige Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: gleichmäßig stetigkeit, Stetigkeit

Lauri89

22:34 Uhr, 09.06.2009

Ich möchte folgende Fkt auf gleichmäßige Stetigkeit untersuchen..

f :

(0,unendlich) nach

R, f (x) =

(1+xQuadrat)hoch

- 1

g :

(0,unendlich)

g (x) = x

hoch

- 2

eine von den beiden soll nicht gleichmäßig stetig sein, aber mir ist nicht klar warum?!
vielleicht kann einer von euch mir ja helfen:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pepe1 aktiv_icon

23:45 Uhr, 09.06.2009

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}},

x \in I =] 0; \infty [

ist gleichmäßig stetig

Beweis

z

. B. folgendermaßen:
|f´(x)|

= | \frac{- 2 \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}} | < = K (

konstant

), x \in I

Ermittle ein derartiges

K

(z

. B.

K = 1)

Aus

| f (x) - f (x_{0} | \leq K \cdot | x - x_{0} |

kann dann die glchm. Stetigkeit für

x \in I

gefolgert werden.

f (x) = \frac{1}{x^{2}},

x \in I =] 0; \infty [

,ist nicht gleichmäßig stetig.

Beweis

z

. B. folgendermaßen:

Es existieren ein

ε_{0} > 0

und zwei Folgen

x_{n}, y_{n}

mit

| x_{n} - y_{n} | \to 0

und

| f (x_{n}) - f (y_{n}) | \geq ε_{0}

Wähle etwa

ε_{0} = 1

x_{n} = \frac{1}{n}; y_{n} = \frac{1}{n + 1};

es gilt:

| x_{n} - y_{n} | \to 0

und

| f (x_{n}) - f (y_{n}) | = | n^{2} - {(n + 1)}^{2} | = | - 2 \cdot n - 1 | \geq 1

MfG

Lauri89

08:08 Uhr, 10.06.2009

Liegt dass vielleicht daran, dass

1 : x 2

nicht bei 0 definiert ist-kann es dann nicht (gleichmäßig )stetig sein?? denn ansonsten laufen die Fkt doch fast parallel

Lauri89

08:20 Uhr, 10.06.2009

ich verstehe deine ableitung nicht ganz... meine wäre: (-1xhoch-1)-2x....dass

f max 1

ist ist doch offensichtlich...kann man das nicht mit der epsilon-delta-definition machen?

Lauri89

09:21 Uhr, 10.06.2009

warum lässt du das Intervall offen?die null gehört zu unserem definitionsbereich!

pepe1 aktiv_icon

11:00 Uhr, 10.06.2009

Zu den Fragen:

1 .)

..warum lässt du das Intervall offen? die null gehört zu unserem definitionsbereich!..

Bei der 2. Funktion gehört 0 nicht zum Definitionsbereich, da dort ein Pol ist.
Bei der 1. Funktion kann natürlich 0 zum Definitionsbereich gehören, kann jedoch aus der Angabe nicht ersehen werden (Schreibweise, Lesbarkeit).
Beweis in diesem Falle genauso:

| ... | \leq K = 1

für

x \in [0; \infty [

2 .)

..Liegt dass vielleicht daran, dass

1 : x 2

nicht bei 0 definiert ist- kann es dann nicht (gleichmäßig )stetig sein?? denn ansonsten laufen die Fkt doch fast parallel..

Anschauliche Erklärungen:
"f_2 nicht glchm. stetig, weil bei 0 nicht definiert",genügt keineswegs als Erklärung. Es können leicht Funktionen mit dieser Eigenschaft angegeben werden, die sehr wohl glchm. stetig in I sind.
Stattdessen:
"f_2 nicht glchm. stetig, weil bei Annäherung an 0 f´( die Tangentensteigungen ) unbeschränkt sind, etwa weil dort eine Unendlichkeitsstelle -Pol-ist.

"ansonsten laufen die Fkt doch fast parallel... - zur

x -

Achse

\div

Es gilt: |f´(x)|-> 0 für

x \to \infty

daraus kann glchm. Stetigkeit für

x \in [a; \infty [, a > 0

gefolgert werden.

3.)..Ich verstehe deine ableitung nicht ganz... meine wäre: (-1xhoch-1)-2x....dass fmax1 ist ist doch offensichtlich...kann man das nicht mit der epsilon-delta-definition machen?..

Es geht nicht um fmax, sondern um f´max !

..kann man das nicht mit der epsilon-delta-definition machen?..
Natürlich.
Hierfür kann gerade |f´|<=K für

x \in I

sehr nützlich sein.
Aus dem MWS ergibt sich:

| f (x) - f (x_{0}) | \leq K \cdot | x - x_{0} |

und hieraus folgt dann

- ε - δ -

Definition - die glchm. Stetigkeit für

x \in I

.

Falls noch Fragen, später ggf. noch ausführlicher.

MfG

Lauri89

16:32 Uhr, 10.06.2009

schon etwas klarer;-) deine ableitung ist natürlich richtig...aber differentiation ist noch nicht thema bei uns..ich möchte also lieber zeigen dass für alle

x

gilt: Ix-x0I kleiner

Δ

und If(x)-f(x0)I kleiner

ε

muss ich mir jetzt ein

ε

wählen oder ein

δ z . B

ε :

2??? Was ist eigtl der Unterschied zu (normaler) Stetigkeit??

pepe1 aktiv_icon

10:22 Uhr, 11.06.2009

Zu:
...aber differentiation ist noch nicht thema bei uns..ich möchte also lieber zeigen dass für alle

x

gilt: Ix-x0I kleiner Δ und If(x)-f(x0)I kleiner ε muss ich mir jetzt ein ε wählen oder ein δz.B. ε: 2??? Was ist eigtl der Unterschied zu (normaler) Stetigkeit??...

Sei

f : D \to R

Die Abbildung

f

heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
Zu jedem

ε > 0

existiert

δ (ε) > 0,

sodaß
für alle

x, x_{0} \in D

gilt:

| x - x_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von

D

gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass δ nur von

ε

und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle

x 0

abhängt.

Vorgehensweise:

1 .)

ε > 0

(beliebig!!) vorgeben

(ε =

spezieller Wert,

z

. B.

= 1

genügt keinesfalls )

2 .)

Von

| f (x) - f (x_{0}) | < ε

ausgehen

| f (x) - f (x_{0}) | = | \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x_{0}^{2}} | = | \frac{(x_{0} - x) \cdot (x_{0} + x)}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})} | < ε

3 .)

Bestimme nun zu dem vorgegebenen

ε

das zugehörige

δ (ε) .

Bei der glchm. Stetigkeit muß das

δ

"universal" sein: es darf nicht

!!

von der Stelle

x_{0} \in D

abhängen (im Gegensatz zur "punktweisen" Stetigkeit)

Für alle

!! x, x_{0} \in D

muß gelten:

| x - x_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε

Also:

. .

.
Aus:

| \frac{(x_{0} - x) \cdot (x_{0} + x)}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})} | < ε

folgern, daß

| x - x_{0} | < δ

Nochmal: das zu bestimmende

δ

darf nicht von

x_{0},

nur von

ε

abhängen.

siehe Def. der Stetigkeit und der glchm. Stetigkeit aus Skript, Analysisbüchern, ggf. auch bei wikipedia

MfG

Lauri89

11:26 Uhr, 11.06.2009

Danke, der Unterschied zu normaler Stetigkeit ist mir jetzt klarer!

Aber warum soll ich aus I... I kleiner

ε

folgern I....I kleiner

δ

? der pfeil zeigt doch in andere Richtung!

außerdem: soll ich nun ein konkretes

δ

benennen? ich muss doch irgendetwas abschätzen oder???

kann ich sagen

δ

sei

z . B

ε

halbe und aus Ix-x0I kleiner

ε

halbe folgt I(x0-x): ((1+x0Quad)(1+xQuad)) I kleiner als

ε,

da der Nenner den Zähler Ix-x0I ja auf jeden fall "verkleinert"

pepe1 aktiv_icon

14:57 Uhr, 11.06.2009

Zu:
Aber warum soll ich aus I... I kleiner ε folgern I....I kleiner δ ?
der pfeil zeigt doch in andere Richtung!
Richtig.
Was ist zu zeigen?
Wir müssen zu (einem beliebig vorgegebenen)

ε

ein (mögliches)

δ (ε) > 0,

also ein von

ε

abhändgiges

δ,

bestimmen.

Um ein derartiges

δ,

abhängig vom beliebig gewählten

ε,

angeben zu können, kann man beweistechnisch von der "epsilon-Ungleichung" ausgehen

| f (x) - f (x_{0}) | < ε

und dann mittels Abschätzungen versuchen, auf die "delta-Ungleichung "

| x - x_{0} | < δ (ε)

zu kommen:

| f (x) - f (x_{0}) | = | \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x_{0}^{2}} | = | \frac{(x_{0} - x) \cdot (x_{0} + x)}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})} | < ε \to ... \to | x - x_{0} | < δ (ε)

Wenn dies (auf diesem Wege) gelingt, ist die Aufgabe erfüllt: zu
(einem beliebig vorgegebenen)

ε

ist ein (mögliches)

δ (ε) > 0,

bestimmt worden:
Wenn

| x - x_{0} | < δ (ε)

ist, dann ist

| f (x) - f (x_{0}) | < ε .

Nochmal zur Definition:
Sei

f : D \to R

f

heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn:
Zu jedem

ε > 0

existiert ein

δ (ε) > 0,

sodaß für alle

x, x_{0} \in D

gilt:

| x - x_{0} | < δ (ε) \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε

Zu:
außerdem: soll ich nun ein konkretes δ benennen?
Ja, genauer: ein mögliches

δ (ε),

wobei

ε

beliebig ist-

ich muss doch irgendetwas abschätzen oder???

Ja, aus der einen Ungleichung muß die andere folgen... (s.Definition)

Zu:
kann ich sagen δ sei

z . B

. ε halbe und aus Ix-x0I kleiner ε halbe folgt I(x0-x): ((1+x0Quad)(1+xQuad)) I kleiner als ε, da der Nenner den Zähler Ix-x0I ja auf jeden fall "verkleinert".

Ja, aber nur, wenn der Nachweis erbracht werden kann, daß

δ (ε) = \frac{ε}{2}

ein mögliches

δ

im Sinne der Definition ist.
Gelingt dies in unserem Beispiel?

| f (x) - f (x_{0}) | = | \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x_{0}^{2}} | = | \frac{(x_{0} - x) \cdot (x_{0} + x)}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})} | = | x - x_{0} | \cdot A (x; x_{0})

wobei;

A (x; x_{0}) : = \frac{| x_{0} + x |}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})}

ist.

Man sieht,

δ (ε) = \frac{ε}{2}

ist möglich, falls gelingt, etwa

A (x, x_{0}) \leq 2

zu zeigen. Beachte

x_{0}

beliebig in

D = [0; 00 [!

Nochmal: Bei der glchm. Stetigkeit darf das zu bestimmende

δ

nicht von der Stelle

x_{0}

abhängen, sondern nur von

ε .

(Allgemeiner:-D)elta(epsilon)=epsilon/K (für ein

K > 0)

ist möglich, falls gelingt,

A (x, x_{0}) \leq K

zu zeigen.
Sollte man versuchen...)

Ggf. später nochmal, falls Fragen.

MfG

Lauri89

23:06 Uhr, 11.06.2009

Was soll denn dieses A jetzt?? Sorry aber ich habe keine Ahnung wie ich zeigen soll dass

z . B

ε

halbe für

δ

den Schluss auf If(x)

- f (x 0) I

kleiner

ε

zulässt...??
kannst du mir das bitte noch erklären?!

Lauri89

23:18 Uhr, 11.06.2009

okay..A ist der Rest aber wie zeige ich dass Ix0+xI : (1+x0Qua)(1+xQua) maximal 2 ist????

pepe1 aktiv_icon

21:00 Uhr, 12.06.2009

Zu:
"Was soll denn dieses A jetzt??"

Nur eine Abkürzung,die deutlich macht, welcher Ausdruck abzuschätzen ist (und um Schreibarbeit zu sparen..)

Zu:
"Sorry aber ich habe keine Ahnung wie ich zeigen soll dass

z . B

. ε halbe für δ den Schluss auf If(x)

- f (x 0) I

kleiner ε zulässt.."

. . A

ist der Rest aber wie zeige ich dass Ix0+xI : (1+x0Qua)(1+xQua) maximal 2 ist????

Zum Beispiel:

Zu

ε > 0

wähle

δ = min {1; \frac{ε}{2}}

.
Dann gilt für alle

x, x_{0} \in [0; 00 [, | x - x_{0} | < δ :

| f (x) - f (x_{0}) | = | \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x_{0}^{2}} | = | \frac{(x_{0} - x) \cdot (x_{0} + x)}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})} | = | x - x_{0} | \cdot A (x; x_{0}) < 2 \cdot | x - x_{0} | < 2 \cdot \frac{ε}{2} = ε

wegen

δ \leq 1

folgt die Abschätzung

A (x; x_{0}) : = \frac{| x_{0} + x |}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + x^{2})} \leq \frac{2 \cdot x_{0} + 1}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + {(x_{0} - 1)}^{2})} < 2, x_{0} \in [0; 00 [,

da das(absolute )Max der Funktion

f (x) = \frac{2 \cdot x_{0} + 1}{(1 + x_{0}^{2}) \cdot (1 + {(x_{0} - 1)}^{2})} \in [0; 00 [\leq 2 (

ungefährer Wert

1,5

)ist. ( muß natürlich gezeigt werden..)

Auch andere Begründungen möglich.

A \leq 2

direkt zu zeigen, erfordert natürlich einigen rechnerischen Aufwand.

MfG

621410

620575

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?