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Untersuchung der Funktion auf lokale Extrema

Schüler

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

17:55 Uhr, 04.07.2016

Guten Tag,

Untersuchen Sie die Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ, f (x) := 3 x_{1} \cdot x_{2} - x_{1}^{3} - x_{2}^{3}

auf lokale Extrema.
Mein Ansatz:
Ich hab mir erstmal diese Funktion mit Hilfe einer Seite grafisch anzeigen lassen.

- - -

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-1&xmax=1&ymin=-1&ymax=1&zmin=Auto&zmax=Auto&f=3x*y-x%5E3-y%5E3

- - -

Gradienten grad

f (x, y)

dieser Funktion

f (x)

bestimmen und anschließend den Gradienten Null setzen und ein Gleichungssystem aufstellen und anschließend nach den Variablen auflösen.Es ist eine notwendige Bedingung, das der Gradient Null ist, wenn man lokale Extrema untersuchen möchte.

grad

f (x_{1}, x_{2}) = (\begin{matrix} \frac{\partial f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 x_{2} - 3 x_{1}^{2} \\ 3 x_{1} - 3 x_{2}^{2} \end{matrix})

3 x_{2} - 3 x_{1}^{2} = 0 | : 3

II.

3 x_{1} - 3 x_{2}^{2} = 0 | : 3

x_{2} - x_{1}^{2} = 0 | + x_{1}^{2} | ... \sqrt{}

II.

x_{1} - x_{2}^{2} = 0 | + x_{2}^{2}

x_{1} = \sqrt{x_{2}}

II.

x_{1} = x_{2}^{2}

\sqrt{x_{2}} = x_{2}^{2}

Man sieht, dass dieses zwei mögliche Lösungen hat.

x_{1} = \sqrt{0} = 0

x_{1} = 0^{2} = 0

x_{1} = \sqrt{1} = 1

x_{1} = 1^{2} = 1

Die Lösungen wären einmal für

x_{1}

und

x_{2} = 0

und

x_{1}

und

x_{2} = 1

Probe:
I.

3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 0

II.

3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 0

Ich leite zweifach partiell

f (x)

nach

x

und dann nach

y

ab.

f_{x_{1} x_{1}} = - 6 x_{1}

f_{x_{2} x_{2}} = - 6 x_{2}

Mit der 2. Ableitung kann man etwas über die Krümmung einer Funktion sagen.
Da mich nur die Stellen interessieren, wo der Gradient Null ist, so setze ich die bereits berechneten Nullstellen

N (1 | 1)

aus der 1. Ableitung in die zweite ein.

f_{x_{1} x_{1}} (1) = - 6 \cdot 1 = - 6

f_{x_{2} x_{2}} (1) = - 6 \cdot 1 = - 6

Für die Hesse-Matrix brauche ich noch die zweifach gemischte partielle Ableitung. Das heißt, einmal nach

x

partiell ableiten und dann noch einmal nach

y

\frac{\partial^{2} f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{1} \partial x_{2}} = 3

Die Hesse-Matrix wäre dann für dieses Beispiel(eine

2 x 2

symmetrische Matrix):

H_{f} (x) = (\begin{matrix} \frac{\partial f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{1} \partial x_{2}} \\ \frac{\partial^{2} f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \frac{\partial f (x_{1}, x_{2})}{\partial x_{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 & 3 \\ 3 & - 6 \end{matrix})

Jetzt habe ich eine Matrix. Ich muss die Eigenwerte berechnen. Die Eigenwerte können mir Aufschluss über die lokale Extema geben, müssen die aber nicht. Wenn also beide Eigenwerte negativ sind, dann habe ich ein lokales Maximum. Als Vorstellung, wenn ich eine Tangentialebene an einer Stelle habe, wo der Gradientenvektor Null ist, so geht die Niveaufläche in beide Richtungen Berg ab.Das wäre eine hinreichende Bedingung.

(\begin{matrix} - 6 & 3 \\ 3 & - 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Ausmultiplizieren

- 6 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} = λ x_{1}

3 \cdot x_{1} - 6 \cdot x_{2} = λ x_{2}

Die Glieder auf die linke Seite bringen:

(- 6 - λ) x_{1} + 3 x_{2} = 0

3 x_{1} + (- 6 - λ) \cdot x_{2} = 0

Das in die Determinantenschreibweise umschreiben.Jetzt wende ich die sarrussche Regel an.

det (A) = | (\begin{matrix} (- 6 - λ) & 3 \\ 3 & (- 6 - λ) \end{matrix}) | = (- 6 - λ) \cdot (- 6 - λ) - 3 \cdot 3 =

= 36 + 6 λ + 6 λ + λ^{2} - 9 = λ^{2} + 12 λ + 27

λ^{2} + 12 λ + 27 = 0

Mit Hilfe der Mitternachtsformel spezifizieren wir unsere Annahmen, so erhalten wir für die Eigenwerte:

x_{E_{1}, E_{2}} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

für

a x^{2} + b x + c = 0

x_{E_{1}, E_{2}} = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1} = \frac{- 12 \pm 6}{2}

x_{E_{1}} = - \frac{6}{2} = - 3

x_{E_{1}} = - \frac{18}{2} = - 9

Die beiden Eigenwerte sind negativ, so haben wir ein lokales Maximum.
Auch anhand der Berechnung der Determinante kann man sagen, ob eine Funktion ein lokales Maxiumum bzw. Minimum , Sattelpunkt hat. Ad hoc kann man jedoch nicht sagen, wenn man die Determinante berechnet, und babei ein positiver Wert kommt, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt. In meine Fall wäre

det (A) > 0

.
Man kann Trick

17

anwenden, und sich die 1 Zahl oben links anschauen.Ist diese negativ, so haben wir ein lokales Maximum, und umgehert dann ein lokales Minimum.

Stimmt das so erstmal?

Meine Frage, wie sieht es mit der zweiten Lösung, wenn man mit

N (0 | 0)

rechnet.
Irgendwie frage ich mich, wie es sein kann, dass ich ein lokales Maximum habe, wenn die Funktion in

3 D

ähnelt sehr schwach einem Hyperbolisches Paraboloid, was mich leicht stützig macht über meine Lösung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

22:57 Uhr, 04.07.2016

Hallo
dein Ergebnis für die Det. der Messematrix ist falsch. richtig war noch

{(6 + λ)}^{2} - 9 = 0

dann auszumultiplizierwen und sowas wie die Mitternachtsformel anzuwenden spricht sehr dafür dass du liebe Umformers als zu denken

{(6 + λ)}^{2} - 9 = 0

als(6+\lambda)^2=9

6 + λ = \pm 3

von da ab jetzt für dich.
Zwischenfrage: könntest du einem Dumme erklären, wie man zu so was wie einer"Mitternachtsformel" kommt?
Wenn du in so hohen Gefilden schwebst solltest du so was einfaches können.
(übrigends: ich denke, ich weiss was du willst, und das haben auch schon manche erreicht, aber weniger mit einfach mal aufgaben rechnen, als mit über Probleme nachdenken. Rechnen muss man sicher dabei auch manchmal.

Nochmal das "Gebirge" ist nicht eine Niveauflache, die hat eine Funktion

ℝ^{2}

nach

ℝ

nicht sondern es ist der Graph der Funktion, die Niveaulinien aber keine Niveaufläche hat. im anderen thread, hatte ich dir empfohlen, diese Begriffe mal zu klären.
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

23:33 Uhr, 04.07.2016

Hei, und danke

meinst du, dass man

(- 6 - λ) \cdot (- 6 - λ) - 9 = 0

so schreiben kann?

{(6 + λ)}^{2} - 9 = 0

?

Hmm, ich weiß leider nicht ,wie du dadrauf gekommen bist.

Warum ist es dann hier falsch diese beiden Klammern(-6-

λ) \cdot (- 6 - λ)

auszumultiplizieren?

,,könntest du einem Dumme erklären, wie man zu so was wie einer"Mitternachtsformel" kommt?''
Ich vermute schon, da muss ich aber sehr viel Rücksicht zeigen.
Diese Begriffe habe ich versucht zu verstehen, bloß finde ich keine passende Erklärung , die ich verstehe, ich werde mich bemühen und weiter nach der Erklärung suchen.

ledum aktiv_icon

16:21 Uhr, 05.07.2016

Hallo
es ist nicht falsch nur dumm, wenn die Lösung schon fast da steht sie auf umständliche Weise erst zu verstecken und dann beim Auflösen Fehler zu machen!
dass (−6−λ)⋅(−6−λ)−9=0 dasselbe ist wie

- 1 \cdot (6 + λ) \cdot (- 1) \cdot (6 + λ) - 9 = 0

also meine Gleichung hätte ich gedacht siehst du!
du machst recht anspruchsvolle dinge, scheiterst dann daran dass

(- a) \cdot (- a) = a^{2}

ist.
Wenn du die Mitternachtsformel erklären kannst dann solltest du wissen dass bei deiner Gleichung
λ^2+12λ+27=0 genau das eine Zwischenstufe ist. Und es ist nicht schwer, das für dummies zu erklären, versuch es doch mal.
der dummie sollte wissen, wie man

x^{2} = 16

oder

x^{2} = a

löst, als nächsten Schritt wie man

{(x - 2)}^{2} = 16

löst
dann wie man

{(x - b)}^{2} = a

löst.
solange du die Begriffe Graph und Niveaufläche bzw Biveaulinie nicht geklärt hast sind Begriffe wie grad recht sinnlos.und was du damit machst reines "umformeln"
Gru0 ledum

Christian- aktiv_icon

17:02 Uhr, 05.07.2016

Hi okey
,,dein Ergebnis für die Det. der Messematrix ist falsch''
Wieso schreibst du dann, dass es falsch ist?

- - - - - - - - - - -

Ein Anfänger hat es schwer solche kleinigkeiten zu erkennen.Gib mir 1-2Jahre dann erkenne ich fast alles.Wenn du beispielsweise anfängst Schach zu spielen... ich als profi erkenne, dass man in 3 zügen schachmatt setzen kann, du als anfänger erkennst das jedoch nicht..... ist es dann eine Dummheit? Nein eher die Erfahrung.
Danke dir , hast mir gut geholfen... die Begriffe hab ich jetzt mittlerwwile verstanden. Hab mir in Youtube Videos da angeschaut. Die Mitternachtsformel leite ich dir im anderen thread her wenn du möchtest. Zwar verstehe ich nicht wieso herleiten aber ok.

Christian- aktiv_icon

22:09 Uhr, 05.07.2016

Hoppla, ich erkenne gerade selber, dass ich in der Hesse-Matrix die zwei schrägen nicht richtig geschrieben habe. Es sind natürlich zweifache partielle Ableitungen und nicht ein -fache.

ledum aktiv_icon

01:46 Uhr, 06.07.2016

Hallo
ich schreibe, dass es falsch ist weil deine Lösung für die EW falsch sind.
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

01:52 Uhr, 06.07.2016

Kannst du mir dann helfen, und mir sagen, wie die Werte richtig sind?

Denn, mit deiner Methode kommt für die Eigenwerte auch

- 3

und

- 9

heraus.
Deswegen irritiert mich es, bei mir kommt doch auch das selbe. Wo liegt mein Fehler?

ledum aktiv_icon

11:44 Uhr, 06.07.2016

Hallo
hatte ich doch gesagt,

{(6 + λ)}^{2} = 9

kannst du doch wohl auflösen?
in deiner Mitternachtsformel hast du die Wurzel falsch berechnet!
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

14:46 Uhr, 06.07.2016

Hei, ja dein verkürztes Beispiel habe ich ja verstanden.

Warum ist bei der Wurzel etwas falsch berechnet worden? Ich habe doch genau die selben Werte heraus wie du. Wenn ich also etwas in der Wurzel falsch berechnet hätte, dann würd ich ja ein falsches Ergebnis bekommen. Aber mein Ergebis ist ja genau so gleich wie deins?!

Was ist also konkret in der Wurzel falsch ausgerechnet?

{(6 - λ)}^{2} = 9 | \sqrt{}

6 + λ = \pm 3 | - 6

λ_{1,2} = - 6 \pm 3

λ_{1} = - 9

λ_{2} = - 3

Atlantik aktiv_icon

15:01 Uhr, 06.07.2016

{(6 - λ)}^{2} = 9 | \sqrt{}

1 .)

6 - λ = 3

λ_{1} = 3

2 .)

6 - λ = - 3

λ_{2} = 9

mfG

Atlantik

Christian- aktiv_icon

15:12 Uhr, 06.07.2016

Danke Atlantik,

denn sie schrieb

{(6 + λ)}^{2} - 9 = 0

du hingegeben(6-lambda)^2-9=0

Dann ist ja klar, dass ein Wert positiv und ein negativ ist.

Es ergibt ein Sattelpunkt?!

Richtig?

Atlantik aktiv_icon

15:46 Uhr, 06.07.2016

14 : 46

Uhr,

06.07.2016

Ich hatte bei dir zuerst

{(6 - λ)}^{2} = 9

gelesen und das vorgerechnet.

Nun

{(6 + λ)}^{2} = 9

{(λ + 6)}^{2} = 9

1 .)

λ + 6 = 3

λ_{1} = - 3

2 .)

λ + 6 = - 3

λ_{1} = - 9

mfG

Atlantik

B i l d :

(x

statt

λ)

Christian- aktiv_icon

15:54 Uhr, 06.07.2016

Okey,

dann ist meine letzte Frage, ob es ein Sattelpunkt ist oder ob es ein lokales Maximum ist.

Was kommt denn nun für die Eigenwerte heraus?

Danke

ledum aktiv_icon

12:36 Uhr, 07.07.2016

hallo
ich muss mich sehr entschuldigen, deine ursprüngliche Rechnung war richtig und ich habe permanent einen sehr dummen Rechenfehler gemacht.
die 2 negativen Eigenwerte sind richtig, beide negativ und so hast du ein Maximum
Tut mir sehr leid, für das unnötige hin und her!
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

13:01 Uhr, 07.07.2016

Kein Problem ledum, schwamm drüber, hast mir trotzdem gut geholfen ;-)

Mein Gehirn hat schon etwas geschmorrt, weil ich die ganze Zeit mich fragte, was habe ich übersehen, was habe ich übersehen, was habe ich übersehen, puhhh.... ;-)
Endlich ist diese Keulenaufgabe durch XD

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