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Untersuchung eine Abbildung mit Verknüpfung

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Funktionen

Tags: Abbildung, Identität, Komposition

 
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Linus1988

Linus1988 aktiv_icon

12:43 Uhr, 22.10.2010

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Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe zum Thema Abbildungen.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Wir untersuchen Abbildungen f : [0, 1] → [0, 1] mit der Eigenschaft f ∘ f = f.
a) Finden Sie vier verschiedene solcher Abbildungen.
b) Zeigen Sie: ist f injektiv, so ist f die Identität.
c) Zeigen Sie: ist f surjektiv, so ist f die Identität.

a) Ich weiss bereits, dass die Verknüpfung so aussehen müsste: f(f(x)) = f. Aber wie geht das weiter? Was für Abbildungen soll ich denn finden?

b) Injektiv bedeutet ja, dass jedes Bild höchstens ein Urbild hat. Aber wie beweise ich das? und was ist die Identität?

Bitte helft mir;)

Linus


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Antwort
heimdall

heimdall aktiv_icon

13:56 Uhr, 22.10.2010

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Die Identität ist f(x)=x, also die Abbildung die jedes Element auf sich selbst abbildet. Damit hast du auch schon ein f gefunden mit f∘f=f, denn (f∘f)(x)=f(f(x))=f(x). Jetzt musst du noch 3 weitere Funktionen finden für die f(f(x))=f(x) gilt.

Injektivität bedeutet aus f(x1)=f(x2) folgt x1=x2
Die Injektivität musst du nicht beweisen, die ist vorrausgesetzt! Du sollst zeigen, dass für eine injektive Funktion f für die f∘f=f gilt f(x)=x sein muss. Du weißt also, dass f(f(x))=f(x) und f(x1)=f(x2)⇒x1=x2. Jetzt musst du begründen warum f(x)=x gilt.
Linus1988

Linus1988 aktiv_icon

11:08 Uhr, 24.10.2010

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Ok so weit, so gut.

Aber ich verstehe trotzdem leider noch nicht was ich bei der Aufgabe b) machen soll, bzw. wie ich es machen soll.

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filius

filius aktiv_icon

15:14 Uhr, 24.10.2010

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Vom Prinzip her sollte es ja genügen zu sagen f(f(x))=f(x) nach Definition, also MUSS f(x)=x sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Allerdings wird dabei die Eigenschaft Injektivität überhaupt nicht verwendet und c) würde genauso funktionieren...

Bis morgen in Ana ;-)
Linus1988

Linus1988 aktiv_icon

18:35 Uhr, 24.10.2010

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Ok, also muss ich nun irgendwie Injektivität und Identität in Verbindung bringen.

Mein Ansatz sieht nun so aus:

( f ⁡ 1 ⁢ ∘ f 2 )   ( x )   =   f 1 ⁢ ( f 2 ( x ) ) = f 1 ( x ) = f 2 ( x ) f 1 ( x ) = f 2 ( x )   ⇒ x 1 ⁢ = x 2 ⁢

Aber ob das nun so stimmt weiss ich nicht, bzw. glaube ich nicht so ganz.

Ja genau, bis morgen;)
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heimdall

heimdall aktiv_icon

18:55 Uhr, 24.10.2010

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Was du da gemacht hast versteh ich nicht ganz. f(x1)=f(x2)⇒x1=x2 musst du NICHT zeigen, das ist die Definition von Injektivität und die ist bereits vorausgesetzt, d.h. du weißt dass das für deine Funktion gilt. Zeigen musst du dass f(x)=x gelten muss wenn f∘f=f und f injektiv ist.

Das heißt: f∘f=f, also f(f(x))=f(x). Jetzt weißt du (da f nach Vorraussetzung injektiv ist) dass aus f(x1)=f(x2) folgt dass x1=x2. Also definierst du x1:=f(x) und x2:=x. Damit wird aus f(f(x))=f(x) die Gleichung f(x1)=f(x2). Somit gilt wegen Injektivität x1=x2, also zurück eingesetzt f(x)=x. Das war zu zeigen.
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