Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Sind die folgenden Mengen Untervektorräume?

Sind die folgenden Mengen Untervektorräume?

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Untervektorräume

Usavich aktiv_icon

12:15 Uhr, 17.01.2014

Hallo Leute,
ich brauche eure Hilfe zu dieser Aufgabe.

Prüfe, ob die folgenden Mengen Untervektorräume des

ℝ^{3}

sind:

M = {(x, y, z) \in ℝ^{3}, x^{2} + y^{2} = z^{2}}

N = {(x, y, z) \in ℝ^{3}, x - 2 y + 3 z = 0}

P = {(x, y, z} \in ℝ^{3}, x + y + z = 1}

Q = {(x, y, z) \in ℝ^{3}, | x | = | y | = | z |}

Vorraussetzung für Untervektorräume:

W

ein Untervektorraum von

V,

wenn folgende Bedingung erfüllt sind.

a) u, v \in W \Rightarrow u + v \in W

b) k

ist ein Skarla

\Rightarrow k \cdot u \in W

Und

W

muss keine leere Menge sein.

P

ist kein Untervektorraum des

ℝ^{3},

da der Nullvektor nicht in

P

enthalten ist.
Ich brauche eure Tipps bzw. Hilfe zu

Q

Wie kann ich beweisen, ob

Q

Untervektorraum ist oder nicht?

Mit freundlichen Grüßen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Usavich aktiv_icon

13:22 Uhr, 17.01.2014

N

ist ein Untervektorraum, da

N

ein homogenes linearen Gleichungssystem ist.

M

ist dagegen kein Untervektorraum
Beweis:

z . B

Seien

(1,0,1) \in M

und

(0,1,1) \in M

(1,0,1) + (0,1,1) = (1,1,2) \Rightarrow 1^{2} + 1^{2} \neq 2^{2}

prodomo aktiv_icon

08:43 Uhr, 18.01.2014

Die zitierten Bedingungen für Unterräume passen eher zu linearen Abbildungen.
Die Idee mit dem homogenen System linearer Gleichungen ist schon erfolgversprechender. Damit dürfte dann auch

P

kein Unterraum sein.
Kritisch bei Unterräumen sind vor allem die Existenz eines neutralen Elementes, des jeweiligen inversen Elementes und die Abgeschlossenheit gegenüber der Addition. So hat

P z . B

. kein neutrales Element, da der Nullvektor fehlt.
Bei

Q

teste auf Abgeschlossenheit !

Usavich aktiv_icon

09:44 Uhr, 18.01.2014

Guten Tag Prodomo,
Danke für deine Antwort. Das Problem ist, mir fehlt an Ideen, wie ich bei

Q

auf die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation beweisen bzw. prüfen soll.

danke im Voraus

prodomo aktiv_icon

11:29 Uhr, 18.01.2014

Elemente von

Q

sind

z . B

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}),

nicht aber

(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Q

besteht geometrisch gesehen aus 4 räumlichen Diagonalen durch den Ursprung. Die sind jede für sich Unterräume, aber nicht ihre Vereinigung. Auf die Diagonalen kommst du, indem du alle Vektoren mit

(\begin{matrix} \pm 1 \\ \pm 1 \\ \pm 1 \end{matrix})

ausprobierst. Es gibt davon offenbar

2^{3}

Varianten, von denen aber immer 2 sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Da die Vielfachen auf derselben Diagonale liegen, sind es demnach 4 Stück.

Usavich aktiv_icon

14:54 Uhr, 18.01.2014

Q = {(x, y, z) \in ℝ^{3}, | x | = | y | = | z |}

Du hast gesagt, die Element von

Q

sind

(1,1,1)

und

(- 1,1,1)

. Die Definition von

Q

ist aber

{(x, y, z) \in ℝ^{3}, | x | = | y | = | z |}

. Das bedeutet in

Q

dürfen gar keine negativen Elemente enthalten nicht wahr?

prodomo aktiv_icon

16:09 Uhr, 18.01.2014

Unter den

x, y, z

dürfen schon negative Zahlen vorkommen, deren Beträge erfüllen dennoch die Bedingung für die Zugehörigkeit zu

Q!

Usavich aktiv_icon

17:58 Uhr, 18.01.2014

Das bedeutet, Seien

z . B (1,1,1)

und

(- 1,1,1) \in Q

.
Das Ergebnis von

(1,1,1) + (- 1,1,1)

soll nicht negativ sein und noch gleich sein stimmt?

prodomo aktiv_icon

09:37 Uhr, 19.01.2014

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

gehört zu

Q

(trivial), aber auch

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

gehört dazu, weil

| - 1 | = | 1 | = | 1 |

gilt. Aber

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

gehört nicht zu

Q,

weil

| 0 | \neq | 2 |

ist. Damit ist

Q

nicht abgeschlossen bezüglich

+

Usavich aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.01.2014

Alles Klar.
Eine Verständnisfrage: Wenn ich eine Menge von A habe und soll diese Menge auf Untervektorraum des

ℝ^{n}

überprüfen, muss ich immer so vorstellen, als sei

z . B (1,0,0)

und

(2,0,2) \in A

und auf abgeschlossenen unter der Addition und Multiplikation überprüfen. Wenn die Elemente von A nicht abgeschlossen unter der Addition und Multiplikation ist, dann ist A kein Untervektorraum. Wenn es sich um komplexere Aufgabe handelt und ich soll wieder auf Untervektorräume überprüfen, ich weiß nicht ob ich irgendwie Vektoren finde, die nicht abgeschlossen sind unter der Addition bzw. Multiplikation.

Ich hoffe dass du meine Frage verstehst.

danke im Vorraus

prodomo aktiv_icon

07:58 Uhr, 20.01.2014

Abgeschlossenheit bezüglich einer Multiplikation gibt es bei Vektorräumen nicht, weil dort nur gemischte Produkte Skalar mal Vektor vorkommen. Deswegen gibt es bei den Axiomen ja auch die beiden gemischten Distributivgesetze.
Ob man bei der Prüfung auf Unterraumeigenschaften immer gleich ein Gegenbeispiel findet, ist natürlich schwer zu sagen. Da aber die Regeln für Rechenoperationen aus dem vollständigen Vektorraum natürlich weiter gelten

(z . B

. Assoziativgesetz), sind nur die Axiome, in denen es um die Existenz bestimmter Elemente geht, und die Abgeschlossenheit mögliche Schwachstellen. Es macht also Sinn diese Punkte zu prüfen.

Usavich aktiv_icon

16:25 Uhr, 20.01.2014

Alles Klar. Verständlich
Ich bedanke mich.

Ich wünsche dir noch einen schönen Abend.

1139685

1138715

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?