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Untervektorraum

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra

 
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anonymous

anonymous

21:55 Uhr, 07.06.2004

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Welche der folgenden Teilmengen von R³ bilden einen Untervektorraum?


a ) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 + x 2 + x 3 = 0 } b ) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 + x 2 + x 3 0 } c ) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 = x 3 } d ) { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 3 = 1 }
Antwort
MarcelHu

MarcelHu

01:39 Uhr, 08.06.2004

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Hallo Lara,

da ich den Formeleditor nicht benutzen will (das dauert mir jetzt zu lange), habe ich dir eine Email geschickt. Wenn deine Adresse korrekt ist, ist sie hoffentlich angekommen.

Ich schreibe jetzt hier die Lösungen zu a) und b) hin, aber c) und d) löst du bitte alleine und zeigst sie dann hier zur Kontrolle.



Also: Zunächst einmal ist der IR³ ein IR-Vektorraum (ich gehe davon aus, dass hier immer der Körper K=IR ist).



a) M1:={(x1,x2,x3): x1+x2+x3=0}

M1 ist nicht leer, weil (0,0,0) in M1 liegt, da die Summe der Komponenten von (0,0,0) gerade 0+0+0=0 ist.



Ist nun alpha aus IR und u=(u1,u2,u3) aus M1, dann gilt:

alpha*u=alpha*(u1,u2,u3)=(alpha*u1,alpha*u2,alpha*u3)

Addiert man die Komponenten von alpha*u, so sollte, wenn alpha*u in M1 liegt, diese Summe 0 ergeben (so ist ja M1 definiert).

Ergibt diese Summe nicht 0, so liegt auch alpha*u nicht in M1 (wieder wegen der Definition von M1).

Wir rechnen also nach:

alpha*u1+alpha*u2+alpha*u3=alpha*(u1+u2+u3) und weil u=(u1,u2,u3) aus M1 war, ist u1+u2+u3=0, woraus folgt:

alpha*u1+alpha*u2+alpha*u3=alpha*(u1+u2+u3)=alpha*0=0.

Damit ist auch alpha*u Element M1.



Sind nun u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3) aus M1, so gilt:

u+v=(u1,u2,u3)+(v1,v2,v3)=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)

Addiert man also die 3 Komonenten von u+v, so ist die Summe:

u1+v1+u2+v2+u3+v3=(u1+u2+u3)+(v1+v2+v3)=0+0=0, weil ja u aus M1 war und weil v aus M1 war und damit natürlich u1+u2+u3=0 und v1+v2+v3=0 gelten muss.



zu b)

M2:={(x1,x2,x3): x1+x2+x3 >= 0}

M2 ist nicht leer, weil (0,0,0) in M2 liegt (da 0+0+0=0 >= 0).

ABER:

Es gilt: e:=(1,1,1) ist Element von M2, da 1+1+1=3 >= 0, allerdings ist für alpha:=-1 der Vektor:

alpha*e=-1*(1,1,1)=(-1,-1,-1) nicht in M2, da ja offenbar (-1)+(-1)+(-1)=-3 < 0 ist.

(Denn wäre alpha*e=(-1,-1,-1) in M2, so müßte auch (-1)+(-1)+(-1) >= 0 gelten!)



Wie gesagt, an dem Rest versuchst du dich bitte alleine und teilst deine Rechnungen mit. Wenn ich nicht irre, sollte bei c) wieder ein Unterraum herauskommen, während d) keinen liefert.



Übrigens:

Hier findest du die/eine Definition eines Untervektorraumes:

www.matheraum.de/read?f=16&t=749&i=754



Lies dir auch mal das PS: dazu durch. Wenn diese 3 (bzw. 2) Bedingungen erfüllt sind, genau dann ist eine Teilmenge eines K-Vektorraumes selbst ein K-Vektorraum, daher auch der Name "Unter(vektor)raum" für eine Teilmenge eines Vektorraumes, die diese Bedingungen erfüllt.

Der Beweis dazu ist nicht besonders schwer, ist im Prinzip nur Nachrechnerei, deshalb verzichte ich an dieser Stelle darauf ;-)



Viele Grüße

Marcel
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