Untervektorraum-Axiome

Hallo, habe hier mal eine Frage zur Linearen Algebra,

ich soll überprüfen , ob die Teilmenge U des ${\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ ein Untervektorraum ist.

Sei U:={(x1,x2,x3)${\displaystyle \in {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$\x1+5x2+x3=0}

Zum Beweis muss ich ja die 3 Unterraumaxiome überprüfen:

1. U${\displaystyle \ne \mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist erfüllt, da z.b. der Nullvektor enthalten ist

2.${\displaystyle \forall }$ a,b${\displaystyle \in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

es seien also a=(a1,a2,a3) und b=(b1,b2,b3)${\displaystyle \in }$U

dann ist a+b=(a1+a2+a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)${\displaystyle \in }$U

3.${\displaystyle \forall \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\forall \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

es sei also a wieder (a1,a2,a3)

dann ist ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$*a=${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(a1,a2,a3)=(${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$a1,${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$a2,${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$a3)${\displaystyle \in }$U

somit sind die Axiome erfüllt und U ist somit ein Untervektorraum.

Meine Frage jetzt: reicht das so als Beweis oder muss ich das alles noch konkreter aufschreiben?