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Untervektorraum, Dimension und Basis berechnen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, dimension, Teilmenge, Untervektorraum, Vektorraum

 
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Math-stud

Math-stud aktiv_icon

14:12 Uhr, 07.12.2022

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Heii, ich brauche Hilfe und Verzweifel gerade an dieser Aufgabe im Anhang. Kann mir dort jemand weiter helfen. Wenn jemand einen Denkanstoß oder eine Lösung hat bin ich über beides Dankbar.



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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

14:38 Uhr, 07.12.2022

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Hallo, Math-stud!

Um zu zeigen, dass U und W Untervektorräume sind, musst du nur jeweils drei Dinge zeigen (sog. Unterraumkriterium), nämlich

1. Die Menge ist nicht leer.
2. Die Menge ist abgeschlossen bzgl. der Vektoraddition.
3. Die Menge ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation.

Für U bedeutet das zum Beispiel:

1. Offenbar ist für a∈ℝ jeder Vektor (a,0,0,0)⊤∈U, also U≠∅.

2. Seien x=(x1,x2,x3,x4)⊤∈U und y=(y1,y2,y3,y4)⊤∈U. Zeige, dass auch x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4)⊤∈U. Das ist der Fall, denn

x2+y2+x3+y3+x4+y4=x2+x3+x4+y2+y3+y4=0.

3. Seien α∈ℝ und x∈U, dann gilt αx=(αx1,αx2,αx3,αx4)⊤∈U, da αx2+αx3+αx4=α(x2+x3+x4)=0, da x∈U.

Damit ist schon gezeigt, dass U ein Untervektorraum ist.
Für W gehst du genauso vor. Und da du verwenden darfst, dass der Schnitt zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum ist, bist du dann schon mit dem ersten Aufgabenteil fertig.

Für den zweiten Teil würde ich dir raten, mal mit der Standardbasis des ℝ4 anzufangen und zu schauen, ob du zum Beispiel jeden Vektor aus U als Linearkombination dieser Standardbasisvektoren darstellen kannst. Falls nicht, versuch's mit drei Standardbasisvektoren usw.


Viele Grüße