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Untervektorraum Orthonormalbasis

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Sonstiges

Tags: Orthogonal Projektion, Orthonormalbasis, Standardskalarpodukt, Untervektorraum

 
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MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

14:11 Uhr, 15.09.2020

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Hallo,

die Aufgabe lautet:

Sei U={(xyz)∈ R3|x1+2x2+3x3= 0},ein Untervektorraum von R3.

a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bzgl. den Standardskalarprodukten.
b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion auf {e1,e2,e3} und bzgl. P1(100);P2(123).

An sich weiß ich wie man die Orthonormalbasis und orthogonale Projektion berechnet, nur weiß ich nicht mit welchen Vektoren ich nun rechnen soll.

Danke schonmal für alle Antworten!:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:16 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Du kannst zunächst einen Vektor aus diesem Vektorraum nehmen, also ein (x1,x2,x3), dass x1+2x2+3x3=0 erfüllt. Z.B. (0,-3,2). Dann suchst du einen Vektor, der im Vektorraum liegt und senkrecht zu (0,-3,2) ist. Also muss es x1+2x2+3x3=0 und -3x2+2x3=0 erfüllen. Das ist ein System aus zwei Gleichungen mit unendliche vielen Lösungen. Nimm eine beliebige Lösung. Damit hast du zwei Vektoren, die zueinander orthogonal sind und im Vektorraum liegen. Es bleibt nur sie zu normieren.
MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

15:34 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Danke schonmal.
Wenn ich nun den Vektor (0,-3,2) ausgewählt habe, könnte ich dann als zweiten Vektor (1,2,3) holen? Weil das Skalarprodukt ergibt ja dann null und somit sind die beiden orthogonal, oder?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:09 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Hallo
ja, aber das wurde dir doch gesagt? Warum so unsicher?
ledum
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:20 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Hallo,

aber (1,2,3) liegt doch nicht in U oder?

Gruß pwm
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:07 Uhr, 15.09.2020

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(1,2,3) passt nicht, weil er nicht in U liegt.
Also bitte das System lösen. Eine mögliche Lösung wäre (-13,2,3).
Frage beantwortet
MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

11:18 Uhr, 17.09.2020

Antworten
Danke !