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Untervektorraum Orthonormalbasis

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Sonstiges

Tags: Orthogonal Projektion, Orthonormalbasis, Standardskalarpodukt, Untervektorraum

MaaaathStuuudent aktiv_icon

14:11 Uhr, 15.09.2020

Hallo,

die Aufgabe lautet:

Sei U=

{

(xyz)∈

R^{3} | x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 =

}

,ein Untervektorraum von

R^{3}

a)

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bzgl. den Standardskalarprodukten.

b)

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion auf

{e 1, e 2, e 3}

und bzgl.

P 1 (100); P 2 (123)

.

An sich weiß ich wie man die Orthonormalbasis und orthogonale Projektion berechnet, nur weiß ich nicht mit welchen Vektoren ich nun rechnen soll.

Danke schonmal für alle Antworten!:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

14:16 Uhr, 15.09.2020

Du kannst zunächst einen Vektor aus diesem Vektorraum nehmen, also ein

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

, dass

x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0

erfüllt. Z.B.

(0, - 3, 2)

. Dann suchst du einen Vektor, der im Vektorraum liegt und senkrecht zu

(0, - 3, 2)

ist. Also muss es

x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0

und

- 3 x_{2} + 2 x_{3} = 0

erfüllen. Das ist ein System aus zwei Gleichungen mit unendliche vielen Lösungen. Nimm eine beliebige Lösung. Damit hast du zwei Vektoren, die zueinander orthogonal sind und im Vektorraum liegen. Es bleibt nur sie zu normieren.