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Untervektorraum zeigen

Schüler Gymnasium,

Tags: Lineare Algebra, Untervektorraum

 
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castyk

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15:58 Uhr, 12.10.2017

Antworten
Hallo,
Ich bin mir unsicher wegen einer Aufgabe im Anhang und wollte mir hier mal Kritik holen.
Um den Untervektorraum zu zeigen, muss man ja erstmal die Axiome abhaken und die Abgeschlossenheit im additiven Raum und die Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation zeigen.

I) Es sei v,w E U. Da im Vektorraum ja gilt : f(1) = 0 muss v so aufgebaut sein:
v(x)=(x1-1x2-1......xn-1)
und dasselbe Spiel für w.
w(y)=(y1-1y2-1......yn-1)

Somit wenn man 1 einsetzt, kommt je nach Rank des Vektors für jede Zeile 0 raus und die Bedingung ist erfüllt.
Also:
(x1-1x2-1......xn-1)+(y1-1y2-1......yn-1)=(00......0)+(00......0)=(00......0)

Da wieder 0 rauskommt und v+w somit E R^n, ist die additive Abgeschlossenheit gezeigt. Das ganze hätte ich dann wieder in der skalaren Multiplikation gemacht (z.B. k E K * 0 = 0 somit wäre das auch bewiesen gewesen).

Stimmt meiner Vorgehensweise hier?

Bildschirmfoto 2017-10-12 um 15.47.30

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

19:21 Uhr, 12.10.2017

Antworten
Hallo castyk!


Du scheinst irgendwie den Vektorraum grundlegend missverstanden zu haben:


Die Vektoren dieses Vektorraumes sind die Abbildungen f:.
Sie haben nichts mit Vektoren irgendeines n zu tun und bestehen NICHT aus endlich vielen Komponenten.

Beispiele:

- f sei die Funktion f: definiert durch f(n):=n für alle n.
Dann ist f ein Vektor im Vektorraum .
Wegen f(1)=10 gilt fU.

- u sei die Funktion u: definiert durch u(n)=n2-1 für alle n.
Dann ist u ein Vektor im Vektorraum .
Wegen u(1)=12-1=0 gilt uU.


Um einen Vektorraum zu verstehen, genügt es nicht zu wissen, was seine Vektoren sind, sondern man muss auch die Addition und die skalare Multiplikation dieses Vektorraumes kennen.

Im Falle von sind diese Operationen wie folgt definiert:

Seien f,g.
Dann ist f+g definiert als die Abbildung f+g: mit (f+g)(n):=f(n)+g(n) für alle n.

Sei f und a.
Dann ist af definiert als die Abbildung af: mit (af)(n):=a(f(n)) für alle n.

Selbstverständlich solltest du dir jeweils klarmachen (oder bei Unklarheiten nachfragen), wofür jedes der einzelnen Zeichen steht.
In (af)(n):=a(f(n)) beispielsweise steht der linke "Malpunkt" für die skalare Multiplikation des Vektorraumes , während der rechte "Malpunkt" für die bekannte gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen im Körper der reellen Zahlen steht.


Nach diesen Vorbemerkungen nun zur Aufgabe:

" Es sei v,w E U. "

Guter Start!
Zu zeigen ist nun v+wU, d.h. zu zeigen ist (v+w)(1)=0.

" Da im Vektorraum ja gilt : f(1) = 0 "

Hm, eine Funktion f hast du doch bisher gar nicht eingeführt...
Aber wegen v,wU wissen wir nach Definition von U, dass v(1)=0 und w(1)=0 gelten.

Zeige nun (v+w)(1)=0, indem du die Definition von v+w verwendest.


Viele Grüße
Tobias
castyk

castyk aktiv_icon

20:34 Uhr, 12.10.2017

Antworten
Hallo Tobias,

Danke für deine sehr ausführliche Antwort, hat mir sehr zum Verständnis geholfen. (Algebra ist schon länger her)
Um deine Antwort weiterzuführen:
(v+w)(1)=(x2-1)+(x2-1)=2*(x2)-2
Nun 1 einsetzen und man bekommt:
2*(1*1)-2=0
Damit wurde das doch auch bewiesen oder ?

Und dementsprechend zur Multiplikation: Es sei k E K
k*v(1)=k*(12-1)=k*0=0

Soweit gut??
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

22:23 Uhr, 12.10.2017

Antworten
Wo kommt denn x2-1 auf einmal her?
Vermutlich von meinem Beispiel für eine Funktion uU.
Das war nur ein Beispiel.
Nicht alle Funktionen aus U sehen so aus!

Über unsere Funktionen v und w wissen wir erst einmal gar nichts, außer dass sie Elemente von U sind, also Funktionen v,w: mit v(1)=0 und w(1)=0 (*).


Wir wollen (v+w)(1)=0 zeigen.

Wie ist v+w definiert?
Die Funktion v+w: ist definiert durch (v+w)(n):=v(n)+w(n) für alle n.

Also gilt insbesondere: (v+w)(1)=v(1)+w(1).

Gemäß den Gleichungen (*) haben wir somit (v+w)(1)=v(1)+w(1)=0+0=0.
Damit ist (v+w)(1)=0 (und damit v+wU) gezeigt.


Weiterhin ist zu zeigen: Für alle v und k gilt auch (kv)U, d.h. zu zeigen ist (kv)(1)=0.
Wie war nochmal kv definiert?

Schließlich ist je nach eurer Formulierung der Untervektorraum-Definition noch zu überlegen:
(a) U ist nichtleer oder
(b) U enthält den Nullvektor von als Element.

Hinweis zu b): Der Nullvektor von ist die konstante 0-Abbildung h: definiert durch h(n)=0 für alle n.
castyk

castyk aktiv_icon

00:01 Uhr, 13.10.2017

Antworten
Hallo Tobias,
Ahhh jetzt habe ich es verstanden. Im Grunde ist hier keine Funktion gegeben sondern eine "Bedingung", die erfüllt werden muss, um ein Untervektorraum zu sein, richtig?
Also im Grunde würde die Definition von (k*v)(n) so aussehen:
(k*v)(n):=k*v(n) für alle n E N
Nun setzen wir wieder die Gleichungen (*) ein und haben somit:
(k*v)(1)=k*v(1)=k*0=0

a) Kann man das nun beweisen, indem man eine Funktion findet, die die Kriterien von U erfüllen? Also in unserem letzten Beispiel wäre das ja x2-1

b) Der Nullvektor ist doch deswegen vorhanden, weil laut Definition doch h(1) = 0 gilt und somit die konstante Abbildung auf den Nullvektor vorhanden ist? oder seh ich das falsch?

Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

02:33 Uhr, 13.10.2017

Antworten
Das sieht doch viel besser aus! :-)


" Im Grunde ist hier keine Funktion gegeben sondern eine "Bedingung", die erfüllt werden muss, um ein Untervektorraum zu sein, richtig? "
Ja, wir haben mehrere Bedingungen aus der Definition eines Untervektorraumes.
Wir zeigen, dass diese auf U als Teilmenge des Vektorraumes zutreffen.

Um z.B. zu zeigen, dass für alle v,wU auch v+wU gilt, betrachten wir zwei beliebig vorgegebene Funktionen v,wU und zeigen, dass v+wU für diese Funktionen zutrifft.
Dabei meine ich mit "beliebig vorgegebene Funktionen" nicht, dass wir uns sie selbst aussuchen dürfen, sondern dass wir Funktionen betrachten, über die wir außer v,wU erst einmal nichts weiter wissen und voraussetzen dürfen.
Da unsere Argumentation damit so allgemein gehalten ist, dass sie wirklich auf JEDE Wahl von Funktionen v,wU anwendbar ist, haben wir dann letztlich tatsächlich v+wU für ALLE Funktionen v,wU gezeigt.


" Also im Grunde würde die Definition von (k∗v)(n) so aussehen:
(k∗v)(n):=k∗v(n) für alle n E N "

Genau, sehr schön!


" Nun setzen wir wieder die Gleichungen (*) ein und haben somit:
(k∗v)(1)=k∗v(1)=k∗0=0 "

Alles klar!


" a) Kann man das nun beweisen, indem man eine Funktion findet, die die Kriterien von U erfüllen? "

Haargenau, so macht man das.


" Also in unserem letzten Beispiel wäre das ja x2−1 "

Du meinst:
Wir hatten schon überlegt, dass u: definiert durch u(n):=n2-1 der Bedingung uU genügt.
Insbesondere ist U tatsächlich nichtleer.


" b) Der Nullvektor ist doch deswegen vorhanden, weil laut Definition doch h(1) = 0 gilt "

Ja, wegen h(1)=0 gilt hU für den Nullvektor h von .

" und somit die konstante Abbildung auf den Nullvektor vorhanden ist? "

In der Aussage h(1)=0 steht die 0 für die "ganz normale" reelle Zahl 0.
Daher stolpere ich über die Formulierung "Nullvektor" in diesem Zusammenhang.
Aber wenn du als Vektorraum betrachtest, ist die Zahl 0 der Nullvektor darin.


Jetzt hast du sogar a) und b) erledigt. :-)
Eine der beiden Bedingungen hätte es sogar bereits getan, nämlich diejenige, die in eurer Formulierung der Definition eines Untervektorraumes vorkommt.
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

08:57 Uhr, 13.10.2017

Antworten
Zum zweiten Teil der Aufgabe:

" Zeigen Sie außerdem, dass jeder Untervektorraum W von mit "U echte Teilmenge von W" gleich sein muss. "


Sei also ein Untervektorraum W von mit "U echte Teilmenge von W" beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist W=.

Um die Gleichheit der beiden Mengen W und zu zeigen, genügt es, nacheinander
1. W
und
2. W
zu zeigen.


Ich behaupte: 1. ist klar.
Kannst du das begründen?


Zu 2.:

Was bedeutet die Voraussetzung "U ist eine echte Teilmenge von W" nach Definition des Begriffes "echte Teilmenge"?

Was bedeutet die zu zeigende Aussage W nach Definition von ?
castyk

castyk aktiv_icon

10:34 Uhr, 13.10.2017

Antworten
Hallo Tobi,

Zu 1. gilt ja dann im Grunde:
Alle Elemente von W, müssen alle auch in Rn. Alle Elemente von W erfüllen auch die Bedingung f(1) = 0, also müssen das alle Elemente in Rn auch erfüllen.
Soweit richtig? Weiter komme ich im Moment nicht, kannst du mir noch einen Anstoß geben??

Antwort
tobit

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14:11 Uhr, 13.10.2017

Antworten
" Alle Elemente von W, müssen alle auch in Rn. "

Du meinst vermutlich: W bedeutet, dass alle Elemente von W auch Elemente von sind.

" Alle Elemente von W erfüllen auch die Bedingung f(1) = 0 "

Nein. Alle Elemente fU erfüllen f(1)=0, aber nicht alle Elemente fW.

" also müssen das alle Elemente in Rn auch erfüllen. "

Nein.

Wir wissen doch schon (siehe mein entsprechendes Beispiel aus meiner ersten Antwort), dass es durchaus Elemente f gibt, die NICHT f(1)=0 erfüllen.


1. ergibt sich direkt daraus, dass W als Untervektorraum von vorausgesetzt ist.
(Untervektorräume eines Vektorraumes V sind definiert als Teilmengen von V mit gewissen Eigenschaften.)


Bezieht sich dein "Weiter komme ich im Moment nicht" nur auf 1. oder auch auf 2. ?
Wenn du meine Fragen aus der vorherigen Antwort zu 2. nicht beantworten kannst, solltest du zunächst die Definitionen von "Teilmenge" und "echte Teilmenge" nachschlagen und hier posten.
castyk

castyk aktiv_icon

14:25 Uhr, 13.10.2017

Antworten
Hallo,

Stimmt ich habe W mit dem U aus der a) verwechselt. Zur Definition: Die Menge W heißt Teilmenge von Rn wenn alle Elemente aus W auch in Rn vorhanden sind. Bei einer echten Teilmenge gilt nun noch zusätzlich, dass die Mengen W und Rn ungleich sind.

Auf die 2. Ich habe im Moment Probleme zu verstehen wie man bei so Mengen am besten die Teilmengen beweist.Es heißt ja im Grunde dann dass W alle Elemente aus Rn beinhaltet, richtig?
Antwort
tobit

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15:04 Uhr, 13.10.2017

Antworten
" Die Menge W heißt Teilmenge von Rn wenn alle Elemente aus W auch in Rn vorhanden sind. "

Ja.
(Wobei du mit Rn offenbar meinst, was natürlich ein großer Unterschied ist.)



" Bei einer echten Teilmenge gilt nun noch zusätzlich, dass die Mengen W und Rn ungleich sind. "

Ja, wenn W eine echte Teilmenge von WÄRE, wären W und ungleich.
(Wir wollen jedoch ja gerade zeigen, dass W und gleich sind.)


" Auf die 2. Ich habe im Moment Probleme zu verstehen wie man bei so Mengen am besten die Teilmengen beweist.Es heißt ja im Grunde dann dass W alle Elemente aus Rn beinhaltet, richtig? "

Ja.
(Wieder abgesehen von n versus .)


Wir gehen vor, wie wir es schon mehrfach zum Nachweis von "für-alle-Aussagen" getan haben:

Seien ein Element f (also eine Funktion f:) beliebig vorgegeben.
Zeigen wollen wir fW.

Wenn uns dies gelungen ist, haben wir gezeigt, dass alle Elemente f auch fW erfüllen, also dass 2. gilt.


Welche Chancen haben wir nun, fW zu zeigen?
Dazu sollten wir uns fragen: Was wissen wir über W?
i) UW
ii) UW
iii) W
iii) W ist ein Untervektorraum von , also insbesondere abgeschlossen unter der Addition und skalaren Multiplikation von Vektoren des .

i) liefert uns, dass schon einmal alle Elemente uU auch uW erfüllen.

ii) liefert uns, dass ein Element gW mit gU existiert.
(Denn anderenfalls wäre für jedes Element gW auch gU und damit WU, also zusammen mit i) U=W im Widerspruch zu ii) .)

iii) liefert uns, dass alle Elemente von W auch Elemente von sind.
Insbesondere gilt wegen gW auch g.


Am besten zeichnest du dir mal ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung der Situation:

Ein inneres Oval veranschaulicht die Menge U.
Das innere Oval liegt komplett in einem weiteren Oval, das die Menge W veranschaulicht.
Im äußeren der beiden bisherigen Ovale außerhalb des inneren Ovals liegt das Element g.
Schließlich liegt das "W-Oval" komplett in einem dritten Oval, das für steht.

(Zeigen wollen wir, dass tatsächlich die beiden äußeren Ovale (also W und ) übereinstimmen.
Aber noch haben wir nicht begründet, dass diese beiden Ovale übereinstimmen.)


iv) ermöglicht uns z.B. zu schließen, dass für jedes uU und jedes a wegen u,gW auch u+agW gilt.

Wenn wir es nun schaffen, ein solches uU und ein solches a zu finden, so dass gerade f=u+ag gilt, haben wir gewonnen:
Denn dann haben wir wie gewünscht f=u+agW.


Zur Suche nach passendem uU und a habe ich mal auf einem Schmierzettel angenommen, wir hätten bereits so ein uU und a und habe mir überlegt, wie u und a dann aussehen müssten.

Es müsste gelten:
a) uU, d.h. u: mit u(1)=0
b) f=u+ag, d.h. f(n)=(u+ag)(n) für alle n.

Kannst du mithilfe der Gleichungen u(1)=0 und f(n)=(u+ag)(n) für alle n die passenden Werte a und u ermitteln?
Es ist insbesondere nützlich, die Gleichung f(n)=(u+ag)(n) für n=1 gesondert zu betrachten, um sie mit der Gleichung u(1)=0 zu verbinden.
castyk

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15:25 Uhr, 13.10.2017

Antworten
wow erstmal riesen Dank für diese große und ausführliche Erklärung, das kann selbst mein Professor nicht so gut :-) Bevor ich ans rechnen gehe, eine kurze Rückfrage:
f(n)=(u+a*g)(n)
für n=1 würde doch dann heißen, dass man für u 1 einsetzt also u(1) und dementsprechend auch die anderen Variablen?
Oder geht das nicht so weil die Funktion ja kein n enthält?
Antwort
tobit

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15:37 Uhr, 13.10.2017

Antworten
Wenn man die Gleichung f(n)=(u+ag)(n) für n=1 betrachtet, erhält man die Gleichung f(1)=(u+ag)(1).

Wie war nochmal die Summe u+ag definiert?
Wie war ag definiert?

Wenn dir dies klar ist, kannst du in den Gleichungen f(n)=(u+ag)(n) bzw. f(1)=(u+ag)(1) die Terme auf der rechten Seite umformen.


Ergänzend noch der Hinweis:
f: und g: sind ja gegeben, u: und a gesucht.
castyk

castyk aktiv_icon

14:07 Uhr, 16.10.2017

Antworten
Hallo Tobias,

Also a * g ist ja definiert mit:
a E R und g E W. Da W ein Untervektorraum ist, kann man auf die Abgeschlossenheit a*g E W schließen.
Meine Vorgehensweise wäre jetzt die 1 einzusetzen aber das würde ja nur 0 ergeben, da ja f(1)=0 gilt.
Aber ich versteh nicht ganz wie ich umformen soll. Kannst du hier die Rechnung mal anfangen?

Vielen lieben Dank
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

14:38 Uhr, 16.10.2017

Antworten
" Also a * g ist ja definiert mit:
a E R und g E W. "

Ja, a und gW.
Aber wie ist nun ag definiert?
Oder vorweg gefragt: Wofür steht hier?

steht hier für die skalare Multiplikation des Vektorraumes .
Wie ist diese skalare Multiplikation nochmal definiert?
(Das habe ich in meiner allerersten Antwort erklärt.)

ag ist die Abbildung ag: definiert durch (ag)(n):=a(g(n)) für alle n.

Analog ist die Summe u+ag die Abbildung u+ag: definiert durch (u+ag)(n):=u(n)+(ag)(n)=u(n)+a(g(n)) für alle n.


" Meine Vorgehensweise wäre jetzt die 1 einzusetzen aber das würde ja nur 0 ergeben, da ja f(1)=0 gilt. "

Warum sollte f(1)=0 gelten?


Wir haben neben u(1)=0 die Gleichung f(n)=(u+ag)(n)=u(n)+a(g(n)) (*), also insbesondere mit n=1 die Gleichung f(1)=u(1)+a(g(1))=0+a(g(1))=a(g(1)) (**).

Nun kommt der Clou des Ganzen: Wegen gU ist g(1)0, d.h. wir können die Gleichung (**) reeller Zahlen auf beiden Seiten durch die reelle Zahl g(1) dividieren und erhalten somit f(1)g(1)=a.

Wir haben also a gefunden: Unter der Annahme, dass u und a wie gewünscht existieren, haben wir herausgefunden, dass a nur den Wert a=f(1)g(1) haben kann.


Wie sieht es nun mit u aus?

Setze dazu den ermittelten Wert von a in Gleichung (*) ein und löse nach u(n) auf.
castyk

castyk aktiv_icon

15:08 Uhr, 16.10.2017

Antworten
Ok dann setze ich nun mal a=f(1) / g(1) in * ein:
f(n)=u(n)+f(1)g(1)*g(n)
f(n)=u(n)+f(1)*g(n)g(1) |-f(1)*g(n)g(1)
f(n)-f(1)*g(n)g(1)=u(n)
Zusammengefasst das ganze:
(f(n)*g(1))-f(1)*g(n)g(1) Jetzt noch das g(1) kürzen
f(n)-f(1)*g(n)=u(n)

Soweit richtig??
Antwort
tobit

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15:32 Uhr, 16.10.2017

Antworten
Nach der Zeile f(n)-f(1)g(n)g(1)=u(n) bist du schon fertig! :-)

Ich denke nicht, dass sich diese Gleichung weiter vereinfachen lässt.

Dein Versuch, dann g(1) zu kürzen ist fehlerhaft, da g(1) im Subtrahenden des Zählers gar nicht als Faktor auftritt.


Gut, jetzt wissen wir also durch unsere "Schmierzettel-Überlegung":

WENN es überhaupt u und a der gewünschten Art gibt, müssen sie a=f(1)g(1) und u: mit u(n)=f(n)-f(1)g(n)g(1) lauten.

Nun können wir den Schmierzettel, mit dem wir auf diese Werte gekommen sind, getrost entsorgen und beweisen nun als Teil des eigentlichen Beweises, DASS es u und a der gewünschten Art gibt, indem wir a:=f(1)g(1) und u: durch u(n):=f(n)-f(1)g(n)g(1) DEFINIEREN (***).

Nun müssen wir zeigen, dass die so definierten Objekte u und a von der gewünschten Art sind, d.h. dass gilt:
i) uU, d.h. u(1)=0
und
ii) f=u+ag, d.h. für alle n gilt f(n)=(u+ag)(n).


Ist diese Überlegung verständlich?

Kannst du mittels der Definitionen (***) die Aussagen i) und ii) nachrechnen?
castyk

castyk aktiv_icon

15:46 Uhr, 16.10.2017

Antworten
i) Hier setze ich in u(1) ein. Daraus folgt:
u(1)=f(1)-f(1)*g(1)g(1)
Hier kann man nun diesmal die g(1) rausstürzen und dann ergibt sich:
f(1)-f(1)=0
Die Behauptung (i) wurde somit gezeigt.

ii) Hier bin ich mir unsicher was du meinst, aber ich nehme mal an einfach die Schmierzettel-Variablen einsetzen?
In dem Fall wäre das dann:
f(n)=(u+a*g)(n)=u(n)+a*g(n)=(f(n)-f(1)*g(n)g(1))+f(1)g(1)*g(n)
Würde man an dem Punkt Weiterrechnen könnte man auflösen:
f(n)=f(n)-f(1)*g(n)g(1))+f(1)*g(n)g(1))
f(n)=f(n)

Im Moment wäre mir jedoch unklar was das bringen sollte
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

15:59 Uhr, 16.10.2017

Antworten
Zu i): Perfekt!


Zu ii):

Lass die "f(n)=" auf den linken Seiten weg, denn noch haben wir ja (außerhalb irgendwelcher Schmierzettel-Überlegungen unter unbewiesenen Annahmen) nicht f(n)=(u+ag)(n) für unsere gemäß (***) definierten Objekte a und u gezeigt, sondern wollen das gerade tun.

Deine Rechnung ist dann völlig richtig!


Wenn ich nichts übersehen habe, haben wir nun alle Argumente durchgesprochen!

Die verbleibende Aufgabe besteht nun nur noch darin, alles im Zusammenhang zu notieren.


Respekt für dein Durchhaltevermögen! :-)
Frage beantwortet
castyk

castyk aktiv_icon

16:02 Uhr, 16.10.2017

Antworten
Sehr gut, dann haben wir das durch.
Vielen lieben Dank für die tolle Hilfe, 1A :-)
Schöne Woche!
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

16:04 Uhr, 16.10.2017

Antworten
Danke, dir auch eine schöne Woche!

Wenn beim Notieren noch Unklarheiten aufkommen, kannst du gerne nochmal nachfragen.