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Urne mit zurück legen
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Stochastik
Tags: Stochastik
 
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anonymous 15:27 Uhr, 28.03.2007  |
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Hallo, ich verzweifel gerade an einer Stochastik-Aufgabe: In einer Urne befinden sich 4 rote, 5 grüne und drei blaue Kugeln. Aus der Urne wird mehrfach eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. was ist wahrscheinlicher: Bei drei Ziehungen mindestens eine rote Kugel oder bei 6 mindestens 2 rote Kugeln zu erhalten. Ich bin mir unsicher, wie man solche Aufgaben rcehnet, wenn man die Kugeln wieder zurücklegt. Kann mir jemand vielleicht helfen? Liebe Grüße |
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anonymous 16:06 Uhr, 28.03.2007 |
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Hallo, ermitteln wir doch die Wahrscheinlichkeiten! 3 Ziehungen mit mindestens einer roten Kugel: Solche "mindestens eine" löst man i.d.R. am einfachsten damit, daß man das Gegenteil berechnet, also "keine". Beim Ziehen mit Zurücklegen gilt, daß jeder Versuch unabhängig von den anderen Versuche ist, das ist auch verständlich, da sich durch das Zurücklegen die Ausgangslage nicht verändert hat. Also ist P(keine rote in drei Versuchen) = P(keine rote in einem Versuch)^3 P(keine rote in einem Versuch) = (5+3)/(4+5+3) = 8/12 = 2/3 P(keine rote in drei Versuchen) = (2/3)^3 = 2^3/3^3 = 8/27 P(mindestens eine rote in 3 Versuchen) = 1 - P(keine rote in drei Versuchen) = 1 - 8/27 = 19/27 6 Ziehungen mit mindestens zwei roten Kugeln: Solche "mindestens eine" löst man i.d.R. am einfachsten damit, daß man das Gegenteil berechnet, also "keine" und "genau eine". Beim Ziehen mit Zurücklegen gilt, daß jeder Versuch unabhängig von den anderen Versuche ist, das ist auch verständlich, da sich durch das Zurücklegen die Ausgangslage nicht verändert hat. Also ist P(keine rote in sechs Versuchen) = P(keine rote in einem Versuch)^6 P(keine rote in sechs Versuchen) = (2/3)^6 = 2^6/3^6 = 64/729 P(genau eine rote in sechs Versuchen) = 6*P(genau eine rote in einem Versuch)*P(keine rote in einem Versuch)^5 Warum die 6? Weil die rote Kugel an jeder der 6 Stellen gezogen werden kann! P(genau eine rote in einem Versuch) = 4/(4+5+3) = 4/12 = 1/3 P(genau eine rote in sechs Versuchen) = 6*(1/3)*(2/3)^5 = 2*2^5/3^5 = 64/243 P(mindestens zwei rote in sechs Versuchen) = 1 - P(keine rote in sechs Versuchen) - P(genau eine rote in sechs Versuchen) P(mindestens zwei rote in sechs Versuchen) = 1 - 64/729 - 64/243 = 1 - 256/729 = 473/729 Vergleich von 19/27 und 473/729: 19*729 = 13851 473*27 = 12771 Also ist 19/27 > 473/729. Es ist also wahrscheinlicher in 3 Versuchen mindestens eine rote Kugel zu ziehen als in 6 Versuchen mindestens 2 rote Kugeln! |
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