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Urnen und Kugeln

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Verteilung, Zufallsvariablen

Fisch18 aktiv_icon

10:26 Uhr, 23.11.2024

Guten Morgen allerseits,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe.
In einer Urne befinden sich n Kugeln mit den Zahlen von 1 bis n. Es werden nacheinander
mit Zurücklegen n Kugeln gezogen. Es bezeichne

X_{n}

die kleinste gezogene Zahl.
a) Zeige, dass

ℙ (X_{n} \geq k) = (\frac{n - k + 1}{n})^{n}

gilt.
b) Zeige, dass

l i m_{n \to \infty} ℙ (X_{n} - 1 = k) = p (1 - p)^{k}

mit

p = 1 - e^{- 1}

gilt. Da bedeutet,

X_{n - 1}

asymptotisch geometrisch verteilt mit Parameter

1 - e^{- 1}

.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

15:02 Uhr, 23.11.2024

Hallo
Meine Empfehlung ist sehr häufig: Fang einfach mal mit sehr einfachen Beispielen an,

d . h

> n = 2

> n = 3

> . .

.
Und schon werden Zugang und Lösungsprinzip sehr zugänglich.

Fisch18 aktiv_icon

16:30 Uhr, 23.11.2024

Okay, nehmen wie als Beispiel

n = 2

. Das bedeutet, dass in der Urne sich 2 Kugeln mit den Zahlen 1-2 befinden. Nacheinander mit Zurücklegen werden 2 Kugeln gezogen.

X_{1}

ist die kleinste gezogene Zahl. Da die Kugeln nacheinander gezogen werden, bedeutet dass die Wahrscheinlihckeit für

X_{1} = \frac{1}{2}

calc007

16:47 Uhr, 23.11.2024

Ob wohl Raterei ein guter Ratschlag ist?
nehmen wir das Beispiel

n = 2 :

Da könnten wir doch ziehen:

1; 1

1; 2

2; 1

2; 2

Jetzt bekommst du das bestimmt auch mit obigen Formeln in Einklang...

Roman-22

19:23 Uhr, 23.11.2024

X_{n} \geq k

bedeutet doch, dass jede der

n

gezogenen Zahlen

\geq k

ist.
Sinnvoll natürlich nur für

1 \leq k \leq n

. Nur dafür passt auch die gegeben Formel (na ja, für

k = n + 1

passt es auch noch).
Für

k < 1

ist

P (X_{n} \geq k) = 1

und für

k > n

ist diese Wahrscheinlichkeit gleich Null.

1)

Wie viele von den insgesamt

n

Zahlen von 1 bis

n

sind denn größer oder gleich k?

2)

Wie groß ist daher die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Ziehung eine dieser Zahlen größer gleich

k

gezogen wird?

3)

Wie große ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei jeder der

n

Ziehungen eine Zahl

\geq k

gewählt wird? Beachte dabei, dass es sich um Ziehen mit Zurücklegen handelt und daher bei jedem neuen Zuge die gleiche Ausgangslage vorliegt.

Fisch18 aktiv_icon

20:49 Uhr, 23.11.2024

1) Da

1 \leq k \leq n

gilt müsste es

n - k

Zahlen geben die größer als oder gleich

k

sind.
2) Die Wahrscheinlichkeit beträgt

\frac{1}{n - k}

3) Die Wahrscheinlichkeit beträgt

(\frac{1}{n + k})^{n}

Roman-22

04:22 Uhr, 24.11.2024

> 1)

Da 1≤k≤n gilt müsste es

n - k

Zahlen geben die größer als oder gleich

k

sind.
Falsch! Denk nochmals darüber nach und überprüfe deine Annahme vielleicht auch mit dem einen oder anderen konkreten Zahlenbeispiel.
Nimm zB

n = 10

und

k = 8

. Wie viele Zahlen gibt es da, die größer oder gleich 8 sind?
Sind das wirklich nur

n - k = 10 - 8 = 2

Stück?.

> 2)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt

\frac{1}{n - k}

Autsch!! Das ist ganz grob falsch! Meinst du wirklich, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner wird, je mehr solcher Zahlen es gibt?
Es wird eine von

n

Zahlen gezogen und "günstig" sind jene, die größer oder gleich

k

sind.
Anderes Beispiel: von

100

Kugeln sind 3 rot und die anderen

97

sind schwarz und es wird einmal gezogen. Meinst du wirklich, dass die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel

\frac{1}{3}

ist, weil es drei davon gibt?

> 3)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt

(1 n + k) n

Der Ausdruck ist wohl vor allem wegen der Fehler bei

1)

und

2)

falsch, aber grundsätzlich ist der Rechenweg mit

{(...)}^{n}

richtig. Wie du auf

n + k

kommst ist dennoch schleierhaft.

Wenn du dann

a)

hast, denke bei

b)

and

P (X_{n} = k + 1) = P (X_{n} \geq k + 1) - P (X_{n} \geq k + 2)

und an

lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{a}{n})}^{n} = e^{- a}

HAL9000

13:09 Uhr, 24.11.2024

> Da bedeutet,

X_{n - 1}

asymptotisch geometrisch verteilt mit Parameter

1 - e^{- 1}

.

Das bedeutet es nicht. Sondern stattdessen, dass

X_{n} - 1

asymptotisch geometrisch verteilt mit diesem Parameter

1 - e^{- 1}

ist - das ist ein gewaltiger Unterschied. :(

Mit dieser Terminologie

de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung

kann man entweder sagen "

X_{n}

ist asymptotisch geometrisch verteilt (Variante A)" oder "

X_{n} - 1

ist asymptotisch geometrisch verteilt (Variante B)".

HJKweseleit aktiv_icon

23:16 Uhr, 25.11.2024

Mach so:

Beispiel: n=30, k=12

Wir ziehen alle möglichen Kombinationen mit Zahlen von 12 bis 30, das sind 19 verschiedene Zahlen.

1. Ziehung: 19 Mgl.
2. Ziehung: 19 Mgl.
3. Ziehung: 19 Mgl.
4. Ziehung: 19 Mgl.
...
30. Ziehung: 19 Mgl.

Insgesamt somit

1 9^{30}

Mgl.

Alle möglichen Kombinationen ohne Einschränkung, also von 1 bis 30, entsprechend:

3 0^{30}

Mgl.

Somit Wahrscheinlichkeit, dass der erste Fall eintritt: p =

(\frac{19}{30})^{30} = (\frac{n - k + 1}{n})^{n}

LockyGuy aktiv_icon

04:41 Uhr, 27.11.2024

Rellichs Einbettungssatz ist ein interessantes Thema, insbesondere im Hinblick auf Anwendungen in der numerischen Berechnung und Softwareentwicklung. Wenn Sie Softwarelösungen entwickeln, die mathematische Modelle wie

z

. B. Simulation oder Optimierung integrieren, sind genaue Algorithmen von entscheidender Bedeutung. Eine Software-Agentur impltech.de/blog/software-agentur wie impltech.de kann dabei unterstützen, indem sie speziell für solch komplexe Anforderungen konzipierte Tools bereitstellt. Wenn Sie möchten mehr erfahren über diesen Link Eine enge Zusammenarbeit mit erfahrenen Entwicklern ist oft der Schlüssel zum Erfolg, insbesondere wenn es darum geht, mathematische Theorien in die Praxis umzusetzen.

HAL9000

10:04 Uhr, 27.11.2024

Im Zusammenhang mit einem kombinatorischen Thema von Rellichs Einbettungssatz zu reden ist saublöd. Wenn man die Leute also richtig verscheißern will, dann sollte die eingesetzte KI zumindest themennah spammen - also Abmarsch, noch ein paar Runden anlernen. ;-)

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