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Urnenexperiment ohne und mit Zurücklegen
Universität / Fachhochschule
Tags: Statistik
 
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Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. In einer Schachtel liegen zwei gleich grosse, äusserlich nicht unterscheidbare Beutel mit je 5 gleichartigen Kugeln. Im ersten Beutel sind 2 weisse und drei schwarze Kugeln. Im zweiten Beutel 1 weisse und 4 schwarze Kugeln. Wie gross ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Kugeln Kugeln zu ziehen, wenn Sie a.) einen Beutel zufällig auswählen und daraus zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) entnehmen b.) aus beiden Beuteln je eine Kugel entnehmen c.) einen Beutel zufällig auswählen, daraus eine Kugel entnehmen, die Kugel und den Beutel zurücklegen, die Schachtel schütteln und das Experiment wiederholen. |
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Hallo, Wie gross ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Kugeln Kugeln zu ziehen, wenn Sie a.) einen Beutel zufällig auswählen und daraus zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) entnehmen P(Beutel 1 waehlen)*P(2 schwarze Kugeln aus Beutel 1 nehmen)+ P(Beutel 2 waehlen)*P(2 schwarze Kugeln aus Beutel 2 nehmen) =1/2 * (3/5 * 2/5) + 1/2 * (4/5 * 3/5) ausrechnen kannst Du das alleine. Die Klammern sind natuerlich ueberfluessig, aber was in den Klammern steht entspricht dem Ausdruck P(2 schwarze Kugeln...) b.) aus beiden Beuteln je eine Kugel entnehmen P(schwarze Kugel aus Beutel 1) * P(schwarze Kugel aus Beutel 2) 3/5 * 4/5 c.) einen Beutel zufällig auswählen, daraus eine Kugel entnehmen, die Kugel und den Beutel zurücklegen, die Schachtel schütteln und das Experiment wiederholen. (P(Beutel 1 waehlen) * P(schwarze aus Beutel 1) + P(Beutel 2 waehlen) * P(schwarze aus Beutel 2))^2 =(1/2 * 3/5 + 1/2 * 4/5)^2 Das Quadrat kommt daher, dass Du im zweiten Schritt exakt dasselbe Setting hast wie zuvor. Gruss, Alex |
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Hallo, zunächst zu Aufgabe c) Du hast zwar ein zweistufiges Entscheidungsverfahren (Wähle zuerst Beutel, wähle dann Kugel aus Beutel), aber da die beiden Beutel nach Voraussetzung "zwei gleich grosse, äusserlich nicht unterscheidbare Beutel mit je 5 gleichartigen Kugeln" sind, ist es für jede der 10 Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Damit sind die zwischengeschalteten Beutel nur zur Verwirrung. Das Ergebnis ist das gleiche, als wenn die Beutel gar nicht da wären. Du hast also 10 Kugeln und darunter 7 Schwarze Kugeln. Da Du alles fein säuberlich zurücklegst, ist die Wahrscheinlichkeit des Experiments gleich dem Quadrat der Einzelwahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, also (7/10)^2 zu Aufgabe a) Da hat Alex einen entscheidenden Fehler begangen. Natürlich sind im Beutel 1 nach dem Ziehen der ersten schwarzen Kugel nur noch 2 schwarze Kugeln, aber es sind insgesamt auch nur noch 4 Kugeln und nicht 5 wie bei Alex. Den selben Fehler hat er beim Beutel 2 gemacht. Es sind nach dem Ziehen der ersten schwarzen Kugel nur noch 3 schwarze Kugeln im Beutel, aber es sind auch nur noch 4 Kugeln insgesamt drin. Richtig müßte es also lauten: P(Beutel 1 waehlen)*P(2 schwarze Kugeln aus Beutel 1 nehmen)+ P(Beutel 2 waehlen)*P(2 schwarze Kugeln aus Beutel 2 nehmen) =1/2 * (3/5 * 2/4) + 1/2 * (4/5 * 3/4) |
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Hallo, die Bemerkung zur a) ist natuerlich vollkommen richtig. Das ist mein Fehler. Bei der c) ist es Geschmackssache, wie man es besser sieht. Das Ergebnis ist dasselbe. Gruss, Alex |
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Hallo Alex, die Aufgabe c) ist von Dir natürlich richtig gelöst worden und das Ergebnis ist folgerichtig gleich. Das habe ich auch mit keinem Wort bezweizelt. Ich wollte nur demonstrieren, daß man durch einige kleine Überlegungen den Standardrechenweg mit viel Spielraum zum verrechnen verlassen kann und zu einem wesentlich simpleren Rechenweg mit weniger Fehlermöglichkeiten gelangt. Am Ende sind beide Wege gleichaufwendig, weil auch hier das "Hebelgesetz" gilt: Kraft (Nachdenken) * Weg (Rechweg) = konstant. Du hast die Aufgabe "straight forward" gelöst: gegeben + gesucht = Rechenweg. Also wenig nachdenken und viel rechnen, sicherer Weg zum Ergebnis (wenn man sich nicht verrechnet). Ich aber bin faul, ich such nach Abkürzungen (kurzer Weg), da kommt es weniger auf den Kraftaufwand an, ich bin nämlich stark (bis zur Selbstüberschätzung). Hier habe ich eine Abkürzung gefunden, die nach meinem Geschmack war. |
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Hallo, das war auch nicht boese gemeint, ich wollte nur nochmal klar machen, dass Du lediglich eine Alternative aufzeigst. Du hast zwar nicht erwaehnt, dass meine Loesung falsch ist, Du hast allerdings auch nicht erwaehnt, dass sie richtig ist ;). Wie gesagt, der Weg ist Geschmackssache. Natuerlich ist es immer elegant, durch Argumentation die Rechnung zu einem Problem zu vereinfachen, aber man kann damit auch boese auf der Fr**** landen. Und spaetestens, wenn Dir irgendjemand Deine Argumentation nicht abkauft, musst Du sie ihm beweisen... rechnerisch. Gruesse, Alex |
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Hallo Alex, ich habe das auch nicht "böse" verstanden. Ich wollte nur meine Motivation zu dem anderen Rechenweg erläutern. Ich bin (wie bereits gesagt) faul und habe die Erfahrung gemacht, daß man in Klausuren unter Druck eher einen Rechenfehler macht (bevor ich das eintippe hab' ich das doch im Kopf raus) als einen Denkfehler. Bei einem möglichen Denkfehler überprüft man das noch mal, aber bei Rechenaufgaben ist man betriebsblind (schließlich weiß man doch daß man rechnen kann und die paar kleinen Brüche...) und schon hat man einen Flüchtigkeitsfehler übersehen bzw. in fester Überzeugung noch einmal gemacht. Da red' ich nicht von anderen, sondern von meinen eigenen persönlichen und teilweise bitteren Erfahrungen. Ich sehe deshalb ein solches Forum auch als Spielwiese, nicht nur Lösungen zu finden, sondern elegante Lösungen. Was das Abkaufen der Argumentation angeht, kann man natürlich (theoretisch) soweit argumentieren bis man gar nichts mehr rechnen braucht. Beim Hebelgesetz hat man dann aber bei Null (Rechen-) Weg eine unendliche Kraft (Argumentation) aufzubringen. Da muß man an der Stelle mit den Argumenten aufhören können, an der es keinen weiteren Sinn mehr macht. Das Beste ist selten das Minimum oder das Maximum, das Beste ist das Optimum! Und wenn ich eine Argumentationskette habe, dann kann man mir vielleicht etwas abziehen für die unvollständige Erklärung, aber beweisen, daß sie richtig ist, muß ich nicht. Man muß mir beweisen, daß es falsch ist und dann darf man mir auch bitteschön alle Punkte abziehen. Aber ich gehe nur so weit an das Zentrum des Hebels, daß ich notfalls mit meinem ganzen Gewicht das Ganze noch stemmen kann, jeder Schritt weiter wäre ein Fehler! Im übrigen ist es in meinem Studium so gewesen, daß in Übungsaufgaben bzw. Klausuren unvollständige Erklärungen nie direkt geahndet wurden. Entweder wurde man im Seminar befragt (Übungsaufgaben) oder in die mündliche Nachbesprechung (Klausuren oder Prüfungen) geladen. Dort konnte man seine Argumente vervollständigen. Aber das kann an anderen Unis ja anders sein. Den rechnerischen Beweis mußte man da allerdings selten, eher extrem selten antreten, d.h. nur dann, wenn der Professor in einer Prüfungsnachbesprechung der festen Überzeugung war, daß diese Argumente weder auf dem Mist des Prüflings gewachsen sind noch dieser seine eigenen Argumente versteht, sondern der nur versucht, das wiederzugeben, was ihm ein anderer erzählt hat. Und selbst dann muß man (wie auch im konkreten Beispiel) nicht die ganze (Deine) Rechnung nachvollziehen, sondern nur seine Argumente rechnerisch bestätigen. Das folgt dem Prinzip "Teile und Herrsche". Im konkreten Fall muß man also nur zeigen, daß 1/2*1/5=1/2*1/5 ist und das ist offensichtlich (links: Beutel 1; rechts Beutel 2; Auswahl des Beutels unabhängig von Auswahl der Kugel im Beutel, also Produkt; Beutelauswahlwahrscheinlichkeit gleichwahrscheinlich wegen Voraussetzung, also 1/2, und Kugelauswahlwahrscheinlichkeit für alle Kugeln in beiden Beuteln ebenfalls gleich, also 1/5; daraus folgt, daß die Auswahlwahrscheinlichkeit einer bestimmten Kugel immer 1/2*1/5 ist, egal aus welchem Beutel sie stammt; wie man sieht, ist die "Beweisrechnung" ebenfalls einfacher als die "Gesamtrechnung" und man muß 1/2*1/5 noch nicht mal ausrechnen!). Sicher habe ich nicht erwähnt, daß die Aufgabe c) von Dir richtig ist, aber spätestens nachdem ich Aufgabe a) als fehlerhaft bezeichnet hatte, kann man doch davon ausgehen, daß es sich um so etwas handelt, das man für gewöhnlich ein "stillschweigendes Einvernehmen" nennt, d.h. man anerkennt die Richtigkeit allein dadurch, daß man die Unrichtigkeit nicht behauptet (oder gar beweist). Das ist m.W. allgemeiner Sprachgebrauch in unserem Kulturkreis. Es soll ja Völker geben (oder gegeben haben), bei denen es üblich ist (war), zunächst die Weisheit des Vorredners und die Richtigkeit seiner Aussagen zu bestätigen, bevor dann das Problem unter einem anderen Blickwinkel betrachtet und man eine noch weisere und noch richtigere Aussage macht, die u.U. der zuvor gelobten vollkommen widerspricht. Aber wenn das hier im Forum Pflicht werden sollte, dann steig' ich aus! Das ist nicht meine Art. Ansonsten: Ich habe Dich nicht "böse" verstanden, bin mir aber nicht sicher, ob Du mich auch nicht "böse" verstanden hast, es war aber, genauso wie bei Dir, nicht böse gemeint. ;-) Grüße m@he |
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