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Urnenmodell mit Zurücklegen ohne Reihenfolge

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Urnenmodell, Wahrscheinlichkeitsmaß

-Aerin- aktiv_icon

15:28 Uhr, 22.05.2011

Hi, also im Zusammenhang mit meiner Stochastik Veranstaltung bin ich grade auf folgendes Problem gestoßen:

Wir haben im Skript folgendes gegeben:
Seien in einer Urne

N

Kugeln, davon

M

rot und

N - M

schwarz. Jetzt werden

n

Kugeln mit Zurücklegen und unter Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Die Wahrscheinlich, dass in der Ziehung

k

rote Kugeln sind ist wie folgt angegeben:

P (A_{n, k}) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot {(\frac{M}{N})}^{k} \cdot {(1 - \frac{M}{N})}^{n - k}

Das ist soweit einleuchtend. Nun habe ich mich gefragt was passieren würde wenn man die Reihenfolge nicht beachtet und hatte die Idee, dass sich die Wahrscheinlichkeit für

k

rote Kugeln bei einer Ziehung von

n

Kugeln ja nicht ändern kann. Aber andererseits gelten ja für das Ziehen ohne Reihenfolge ganz andere Formeln zur Berechnung der Anzahl der möglichen Fälle. Kann mir da jemand sagen was dann richtig ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

iidefix aktiv_icon

18:44 Uhr, 22.05.2011

Hi,

also die grundsätzliche Formel für das Urnenmodell ist folgendermaßen aufgebaut:

Wenn du die erste Kugel nimmst, steht im Zähler die Zahl der "günstigen" Möglichkeiten, im Nenner die Zahl aller Möglichkeiten. Möchtest du zB eine rote Kugel aus einem Sack mit insgesamt 10 Kugeln, 4 davon rot, ziehen, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür 4/10. Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln hintereinander, mit Zurücklegen zu ziehen sieht dann so aus: 4/10 * 4/10 (Wahrscheinlichkeiten werden also multipliziert).

Wenn du nun also aus einem Sack/einer Urne mit N Kugeln gesamt und M roten hast, so ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen gleich M/N. Die Wahrscheinlichkeit zwei rote Kugeln zu ziehen ist M/N * M/N = (M/N)^2 --> Die Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln zu ziehen ist (M/N) ^k

Wenn du nun auf die Reihenfolge achtest, musst du eine Permutation anhängen. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen wäre grundsätzlich: $\frac{M}{N} * \frac{N - M}{N}$ , das kannst du auch anschreiben als: $\frac{M}{N} * (1 - \frac{M}{N})$

Wenn es jetzt um die Reihenfolge geht, musst du dir überlegen, wie du die Kugeln anordnen kannst. In dem Fall jetzt, gibt es nur zwei Anordnungsmöglichkeiten: rot - schwarz, schwarz - rot --> $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = 2$

Langer Rede kurzer Sinn: der Teil "n über k" ist für die Reihenfolge verantwortlich. Wenn du also nur rote Kugeln ziehen willst, brauchst du nur den ersten Teil meiner Erklärung. Für rote und schwarze Kugeln (ohne Reihenfolge) lässt du von deiner Formel einfach den ersten Teil weg. Alles klar?

-Aerin- aktiv_icon

22:13 Uhr, 22.05.2011

Ja, deine Erklärung ist soweit verständlich und ich hatte schon so etwas vermutet. Im Prinzip kann man das ganze ja auch als Experiment sehen mit 2 möglichen Ergebnissen(also den Teil ohne Reihenfolge), Wahrscheinlichkeit

p \in [0,1]

für das eintreten von Ergebnis

1, 1 - p

für Ergebnis 2. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von

k

mal Ergebnis 1 bei

n

Versuchen ist dann:

p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

In meinem Fall ist einfach

p = \frac{M}{N}

und

k

die Anzahl der roten Kugeln, richtig?

Was mich an der Sache rein logisch betrachtet irritiert: Warum sollte sich die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von

k

roten Kugeln in

n

insgesamt gezogenen Kugeln ändern, weil ich einmal auf die Reihenfolge achte und einmal nicht? Das versteh ich noch nicht.

iidefix aktiv_icon

22:20 Uhr, 22.05.2011

Genau. Zu deiner Logikfrage: ich versuchs mal anhand eines Beispiels durchzuspielen.

Wenn du 2 rote und 1 schwarze ziehen möchtest. Dann liegt die Wahrscheinlichkeit von rot - rot - schwarz bei irgendeinem Wert. Ebenso, die Wahrscheinlichkeit von rot - schwarz - rot oder schwarz - rot - rot. Das sind drei Ereignisse, die du jetzt miteinander verknüpfen musst. Um Ereignisse miteinander zu verknüpfen, gibt es im Wesentlichen zwei Sätze:

Multiplikationssatz

W (A $\cap$ B) = W (A) * W (B)

(Ereignis A und B)

Additionssatz

W(A $\cup$ B) = W (A) + W (B)

(Ereignis A oder B)

Nachdem du entweder die eine Kombi ziehen kannst oder die andere, musst du deine Wahrscheinlichkeitswerte durch eine Addition miteinander verknüpfen. Da der Wahrscheinlichkeitswert allerdings immer der gleiche ist, kannst du einfach statt W + W + W natürlich 3*W schreiben.

Hilft dir die Erklärung so weiter?

-Aerin- aktiv_icon

22:39 Uhr, 22.05.2011

Leider nicht so wirklich, bei deiner Beschreibung müsste man doch wenn ich das richtig verstehe von Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge ausgehen. Dann bekomme die Wahrscheinlichkeit mit für das Eintreten von einem Ereignis mit P=(Anzahl der günstigen Fälle)/(Anzahl der möglichen Fälle)

Wie genau diese Wahrscheinlichkeit aussieht hängt natürlich von der Anzahl der Kugeln ab, bleibt aber für alle Fälle

(r, r, s); (r, s, r); (s, r, r)

gleich sodass ich einfach mit 3 multipliziere. Aber wie kann ich das mit dem Ziehen ohne Reihenfolge vergleichen?

iidefix aktiv_icon

07:24 Uhr, 23.05.2011

Nochmal im direkten Vergleich:

Ziehen von zwei roten und einer schwarzen Kugel (immer mit Zurücklegen):

1) ohne Reihenfolge:

$\frac{M}{N} * \frac{M}{N} * \frac{N - M}{N} = {(\frac{M}{N})}^{2} * \frac{N - M}{N}$

2) mit Reihenfolge:

${(\frac{M}{N})}^{2} * \frac{N - M}{N} * (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$

Du siehst also, dass sich die Formel nur um den Faktor der Reihung ändert. (ob du die schwarze anordnest und 3 über 1 nimmst, oder lieber die roten beiden und 3 über 2 nimmst bleibt ja egal)

Die Wahrscheinlichkeit eine einzelne Kugel zu ziehen bleibt also immer gleich - egal ob Reihenfolge oder nicht. Es wird nur am Schluss die Anzahl der Kombinationen beachtet - oder eben nicht.

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