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Urnenmodell mit drei Farben und 10 Kugeln

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Erwartungswert, Urnenmodell, Wahrscheinlichkeitsmaß

LisaLerntMathe aktiv_icon

17:12 Uhr, 21.05.2017

Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu einem Urnenmodell mit Zurücklegen. Leider habe ich hierbei etwas Schwierigkeiten und es wäre echt toll, wenn ihr mir helfen könntet! =)

Die Aufgabe lautet wie folgt:

In einer Urne seien drei rote, zwei schwarze und fünf weiße Kugeln. Wir ziehen zufällig vier Kugeln
nacheinander mit Zurücklegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

(a) Alle drei Farben werden gezogen.
(b) Genau zwei Farben werden gezogen.
(c) Genau eine weiße und eine rote Kugel werden gezogen.

Da es sich hier um einen Laplace-Raum handelt, berechnet man die Wahrscheinlichkeit ja mittels

\frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣}

.
In meinem Beispiel wäre |

Ω ∣ = 1 0^{4}

, da ich an jeder Position 10 Möglichkeiten habe.

(a) Ich habe mir zunächst überlegt, wie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind, eine rote, schwarze oder weiße Kugel zu ziehen.

P (r o t) = \frac{3}{10}

P (s c h w a r z) = \frac{2}{10}

P (w e i ß) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Für die Anzahl der Möglichkeiten habe ich jetzt alle Szenarien (2x rot, 1x schwarz, 1x weiß | 1x rot, 2x schwarz, 1x weiß | 1x rot, 1x schwarz, 2x weiß) addiert.
Demnach wäre |B| bei mir:

∣ B ∣ = {\frac{5}{10}}^{2} * \frac{3}{10} * \frac{2}{10} + \frac{5}{10} * {\frac{3}{10}}^{2} * \frac{2}{10} + \frac{5}{10} * \frac{3}{10} * {\frac{2}{10}}^{2} = \frac{3}{100}

, also 0,03.

b) Hier hatte ich die Überlegung, dass

P (b) = 1 - P (

"alle drei Farben werden gezogen"

) - P (

"alle Kugeln sind rot"

) - P (

"alle Kugeln sind schwarz"

) - P (

"alle Kugeln sind weiß"

) .

P (

"alle Kugeln sind rot"

) = \frac{3^{4}}{1 0^{4}} = 0, 0081

P (

"alle Kugeln sind schwarz"

) = \frac{2^{4}}{1 0^{4}} = 0, 0016

P (

"alle Kugeln sind weiß"

) = \frac{5^{4}}{1 0^{4}} = 0, 0625

c) Bei dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher. Ich habe überlegt, dass

∣ C ∣ = 5 * 2^{2} * 3

ist. Somit wäre

P (c) = \frac{∣ C ∣}{∣ Ω ∣} = \frac{60}{1 0^{4}} = 0, 006 .

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:29 Uhr, 21.05.2017

Denk an die möglichen Reihenfolgen.

Roman-22

18:17 Uhr, 21.05.2017

>

Demnach wäre

| B |

bei mir:
Nein, das ist nicht

| B |

.
Du verwendest jetzt ja keinen kombinatorischen Ansatz, du zählst nicht, sondern du kommst gleich mit den Wahrscheinlichkeiten daher. Und die Brüche, die du quadrierst, müssen eingeklammert werden, denn sonst würdest du ja nur den Zähler quadrieren.

Und wieder kannst du dir das Leben viel einfacher machen, denn die vierte Kugel ist uns doch egal. Du kommst also mit

\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{5}{10}

einfacher zum gleichen Ergebnis.
Nur supporters Einwand solltest du unbedingt berücksichtigen - denn es ist bei der Aufgabe ja egal, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden.
Ergebnis bei

a)

daher

\frac{9}{25} = 36 %

Wenn du es lieber kombinatorisch mit

| B |

machen möchtetst, dann musst du eben zählen:
3 Möglichkeiten die rote Kugel zu wählen, 2 für die schwarze, 5 für die weiße und

10

für die vierte Kugel, deren Farbe uns egal ist. Jetzt noch die Anzahl der Möglichkeiten das ganze durchzumischen und wir haben

| B | = 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 12 = 3600

und

\frac{3600}{10^{4}} = 36 %

.

Bei

b)

finde ich deinen Ansatz recht gut, nur musst du eben das richtige Ergebnis von

a)

verwenden.

Bei

c)

schwenkst du nun plötzlich doch wieder zum kombinatorischen Ansatz, überlegst grundsätzlich richtig, berücksichtigst aber wieder nicht die Anzahl der möglichen Anordungen.
Du könntest

c)

auch als Spezialfall von

a)

sehen. Jetzt ist uns die Farbe der vierten Kugel nicht egal, sondern die muss schwarz sein und dafür ist die Wkt

\frac{1}{5}

. Folglich ist das Ergebnis von

c) \frac{1}{5}

des Ergebnisses von

a)

LisaLerntMathe aktiv_icon

20:25 Uhr, 21.05.2017

Alles klar, habe das grade alles nochmal durchgerechnet und kann das auch nachvollziehen.

Bei der Anzahl der möglichen Reihenfolgen hattest du ja gesagt, dass es 12 ist. Ich habe irgendwie keinen anderen Weg gefunden, als alle Kombinationen aufzuschreiben und kam auch auf 12.
Gibt es da eine schnellere Methode?

Ansonsten habt ihr mir echt sehr geholfen, vielen Dank dafür!

Roman-22

20:34 Uhr, 21.05.2017

>

Gibt es da eine schnellere Methode?
Ja, schlag mal unter "Permutation mit Wiederholung" nach.
Hier:

\frac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = 12

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