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Urnenmodell und Wahrscheinlichkeiten

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

KayX2 aktiv_icon

16:16 Uhr, 27.09.2010

Hallo alle,

Ich schreibe morgen eine wichtige Matheklausur und ich habe leider ein kleines Problem mit dem Urnenmodell. Erstmal die Aufgabenstellung:

Eine Urne enthält 8 blaue und 5 rote gleichartige Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird beim Ziehen von 7 Kugeln ohne Zurücklegen 4 blaue und 3 rote Kugeln gezogen?

Aus dem Text wird ersichtlich, dass es ums Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge geht und dafür ist die Formel ebenen

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

Bis jetzt war ich soweit, dass ich mit

(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})

gerechnet habe, da kam ich auf

1.716

. Leider bringt mich dies aber nicht weiter, da ich ja damit nur alle möglichen Kombinationen habe und zwar auch diese, die nicht zu dem Ergebnis gehören wie zum Beispiel

5 x

Rot und

2 x

Blau etc.

Wie kann ich eine solche Aufgabe einfach und schnell lösen?

Danke schonmal im Voraus für die Hilfe.

=)

Grüße,
KayX2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

DerCommander aktiv_icon

18:09 Uhr, 27.09.2010

da es sich um ziehen ohne zurücklegen handelt, hast du bei jedem zug leider eine andere wahrscheinlichkeit eine bestimmte farbe zu ziehen.

d . h

. bei erste kugel rot

z

.b.(nicht auf dein beispiel bezogen) 3 von 8 kugeln also

\frac{3}{8}

. nochmals ziehen nochmal rot dann nur noch

\frac{2}{7},

da ja eine rote kugel beim ersten zug entnommen wurde. diese wahrscheinlichkeite musst du dann multiplizieren (1.Pfadregel eines baumdiagramms) zeichne dir am besten zur veranschaulichung immer ein kleines baumdiagramm. das hilft immer am besten. wenn du irgendwann übung hast, kannst du dir das auch bildlich vorstellen und musst das nicht mehr zeichnen.

KayX2 aktiv_icon

18:12 Uhr, 27.09.2010

Im Grunde brauche ich ja folgendes:

P (4 x

Blau,

3 x

Rot)= Anzahl der zugehörigen Ergebnise

\cdot

Wahrscheinlichkeit

Im Grunde ist ja egal in welcher Reihenfolge ich die Kugeln ziehe, die endgültige Wahrscheinlichkeit für die Kombination bleibt ja gleich also sagen wir:

\frac{8}{13} \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{5}{429}

Also haben wir:

P (4 x

Blau,

3 x

Rot)= Anzahl der zugehörigen Ergebnise

\cdot \frac{5}{429}

Ich muss also nun nur einen Weg finden wie ich die zugehörigen Ergebnisse zeiteffizient ausrechnen kann,

(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})

hilft hier ja nicht.

Natürlich könnte ich die alle aufschreiben aber ich weiß nicht ob mein Lehrer das so akzeptieren würde...

BBBBRRR - BBBRBRR - BBBRRBR - BBBRRRB - BBRBBRR - BBRBRBR - BBRRBBR - BBRRBRB - BBRRRBB - BRBBBRR - BRBBRBR - BRBRBBR - BRRBBBR - BRRBBRB - BRRBRBB - BRRRBBB - RBBBBRR - RBBBRBR - RBBRBBR - RBRBBBR - RRBBBBR - RRBBBRB - RRBBRBB - RRBRBBB - RRRBBBB

Demzufolge wäre es aber:

P (4 x

Blau,

3 x

Rot)

= 25 \cdot \frac{5}{429} = \frac{125}{429}

Und dass auch nur wenn ich wirklich ALLE richtig aufgeschrieben habe. Gibt es nicht einen einfacheren Weg bzw. einen mathematischen Weg dafür?

vulpi aktiv_icon

20:58 Uhr, 27.09.2010

Hallo,
diese Geschichte nennt sich hypergeometrische Verteilung.
Vor der Formel aber vielleich ein Erklärungsversuch:

Mit den

(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})

warst du schon auf dem richtigen Weg.

Damit hast du ALLE möglichen 7er - Gruppen aus

13

.
Allerdings sehen viele dieser Gruppen gleich aus, wenn man nur die Kugelfarbe betrachtet.

Also markier dir alle Kugeln im Geiste, dann läßt es sich besser vorstellen.

Du hast 8 blaue, also

b_{1}

bis

b_{8}

und 5 rote,

r_{1}

bis

r_{5}

in der Urne.

7 werden gezogen, paar Beispiele

b_{1}, b_{2}, b_{3}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}

oder

b_{3}, b_{6}, b_{7}, b_{8}, r_{1}, r_{4}, r_{5}

oder

b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{8}

von diesen hübsch sortiert notierten Reihen gibt es wie erwähnt

(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})

mögliche.
Die eigentliche Frage ist aber, wieviele dieser Reihen enthalten irgendwelche 4 blaue und irgendwelche 3 roten Kugeln.
Also, wie im Rezeptbuch:
Man nehme 4 blaue Kugeln:

b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}

ODER

b_{3}, b_{4}, b_{6}, b_{8}

ALSO
EINE von

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

möglichen blauen 4er-Gruppen
Zu dieser Blauen 4er-Gruppe nehme man nun wieder
EINE von

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

möglichen roten 3er-Gruppen.
Macht vieviele möglichen Rezepte ?

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit demnach:

P (4

blaue unter

7) = h (4 | 13; 8; 7)

\frac{(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})}

Allgemein

\frac{(\begin{matrix} R \\ r \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} S \\ s \end{matrix})}{(\begin{matrix} R + S \\ r + s \end{matrix})}

r, s

steht für rote/schwarze Kugeln
Großbuchstabe für die gegebene Anzahl, der kleine für die Auswahl daraus.

Also merken:
rote aus Rot mal schwarze aus Schwarz durch alle aus Alle !

mfg

KayX2 aktiv_icon

21:48 Uhr, 27.09.2010

Ah. Ich merke gerade, dass ich mit meinem zweiten Post relativ daneben lag weil ich vergessen habe, dass die Reihenfolge nicht wichtig ist.

Jedenfalls hoffe ich, dass genau eine solche Aufgabe morgen drann kommt.

Vielen Dank nochmal, ihr habt mir sehr geholfen.

Gruß,
KayX2

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