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Vandermondesche Determinante

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Vandermondesche Determinanten

schakalaka aktiv_icon

16:11 Uhr, 30.04.2011

Hallo, hier erst einmal die Aufgabe :

(a)

Zeigen Sie, dass für die Vandermondeschen Determinante der dreireihigen Matrix

A 3

gilt:

V 3 (a, b, c) = (c - b) (c - a) (b - a)

Hier ein Link um sich die Vandermondsche Matrix mal anzuschauen :

http://s0.wp.com/latex.php?latex=\begin

{

pmatrix}1+%26+a+%26+a^2+\\1+%26+b+%26+b^2+\\+1+%26+c+%26+c^2+\end{pmatrix}&bg=ffffff&fg=61636a&s=0

Ich weiß, dass ich mit dem Laplceschen Entwicklungssatz arbeiten kann. Ich komm nach ein par Umformungen auf folgenden Term :

bc^2-a^2b-ac^2-b^2c+ab^2+a^2c

Wie kann ich das am sinnvollsten Umformen (am Besten Schritt für Schritt)?
Wie sollte ich ein Vandermondsche Matrix 4 kreuz 4 herangehen ?
Wie komme ich auf den allgemeinen Term, also auf eine allgemeine Formel ?

Danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

16:45 Uhr, 30.04.2011

Hallo,
für

3 \times 3

gilt ( so kann man auch die allgemeine Formel bestimmen ):

{∣ \begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array} ∣}_{S_{3} - a S_{2}, S_{2} - a S_{1}}

bei

n \times n

:
es wird von jeder Spalte ( bei letzten anfangen ) das

a_{12}

- fache der vorangegangenen Spalte abgezogen, erste Spalte bleibt so wie sie ist.

{∣ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & b - a & b^{2} - b a \\ 1 & c - a & c^{2} - c a \end{array} ∣}_{Z_{2} - Z_{1}, Z_{3} - Z_{1}}

jetzt wird die erste Zeile von allen restlichen Zeilen abgezogen ( das gleiche bei

n \times n

∣ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & b - a & b^{2} - b a \\ 0 & c - a & c^{2} - c a \end{array} ∣

jetzt kann man aus jeder Zeile einen Faktor rausziehen ( das gleiche bei

n \times n

(b - a) (c - a) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 1 & c \end{array} ∣ = (b - a) (c - a) (c - b)

bei

n \times n

:
Wenn man alle Faktoren rausgezogen hat dann kann man die Determinante nach der ersten Zeile,Spalte entwickeln und erhält die Vandermondesche Determinante für

(n - 1) \times (n - 1)

schakalaka aktiv_icon

17:06 Uhr, 30.04.2011

Danke das ist ein echt guter Tipp :-)

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