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Variablentransformation bei DGL 3.Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Variablentransformation, x=e^t, x^3y'''-x^2y''+xy-y=0

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21:51 Uhr, 01.06.2013

Hallo ;-)

Ich hänge bei folgendem Problem: Ich soll die Differentialgleichung

x^{3} \cdot y''' (x) - x^{2} \cdot y'' (x) + x \cdot y (x) - y (x) = 0

lösen, indem ich die Variablentransformation

x = e^{t}

anwende. Dadurch gilt: y(x)=z(lnx)=z(t)

Ich hab das ganze mal eingesetzt:

e^{3 t} \cdot z''' (t) - e^{2 t} \cdot z'' (t) + e^{t} \cdot z' (t) - z (t) = 0

Dann hab ich es mit dem charakteristischen Polynom weiterversucht:

e^{3 t} \cdot λ^{3} - e^{2 t} \cdot λ^{2} + e^{t} \cdot λ - 1 = 0

Ab da weiß ich nicht so ganz weiter. Ich habs versucht mit rausheben, hat nichts gebracht. Ich hab

t = 0

gesetzt und für

λ

die Werte

1, i

und

- i

bekommen, glaub aber nicht dass ich so verfahren soll.

Ein anderer Ansatz war folgender:

y (x) = y (e^{t})

dann ist

y (x) = y' (x) = y'' (x) = y''' (x) = z (t)

Wenn ich dann einsetzte komme ich auf:

e^{3 t} \cdot z (t) - e^{2 t} \cdot z (t) + e^{t} \cdot z (t) - z (t) = 0

Da kann ich

z

herausheben, dann ist entweder

z

gleich 0 oder der restliche Term. Der restliche Term kann nur 0 ergeben, wenn

t

gleich 0 ist.

Wenn das richtig sein sollte, bekomm ich raus, dass

x

gleich 1 ist. Ist das jetzt wirklich eine Lösung, oder muss ich eine ganz andere Richtung einschlagen?

Danke schon mal für hilfreiche Tipps ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

00:06 Uhr, 02.06.2013

Hallo,

zunächst gehe ich mal davon aus, daß in dem Term $x \cdot y (x)$ ein Ableitungsstrich fehlt und die Differentialgleichung

$x^{3} \cdot {y^{'}}^{'}^{'} (x) - x^{2} \cdot {y^{'}}^{'} (x) + x \cdot y^{'} (x) - y (x) = 0$

lautet. Wenn Du die unabhängige Variable durch $x = e^{t}$ wechselst, mußt Du in der Differentialgleichung auch die Ableitungen nach $x$ ( $y^{'}, {y^{'}}^{'}, {y^{'}}^{'}^{'}$ ) durch Ableitungen nach $t$ ( $\dot{y}, \ddot{y}, \overset{\cdot \cdot \cdot}{y}$ ) ersetzen. Ich verwende dabei die gängigen Bezeichnungen $\frac{d y}{d x} = y^{'}, \frac{d y}{d t} = \dot{y}$ etc. Um die Ableitungen nach t zu berechnen, mußt Du die Kettenregel anwenden:

$y (x) = y (e^{t}) \Rightarrow \dot{y} = \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} = y^{'} \cdot e^{t}$

da wegen $x = e^{t}$ gilt: $\frac{d x}{d t} = e^{t}$

$\Rightarrow y^{'} = \dot{y} \cdot e^{- t}$

Damit könne wir bereits $y^{'}$ in der Differentialgleichung ersetzen. Als nächstes wird ${y^{'}}^{'}$ berechnet. Dazu benötigen wir sowohl die Ketten- als auch die Produktregel:

$\dot{y} = y^{'} \cdot e^{t} \Rightarrow \ddot{y} = (\frac{d}{d t} y^{'}) \cdot e^{t} + y^{'} \cdot (\frac{d}{d t} e^{t}) = ({y^{'}}^{'} \cdot \frac{d x}{d t}) \cdot e^{t} + y^{'} \cdot e^{t} = ({y^{'}}^{'} \cdot e^{t}) \cdot e^{t} + \dot{y} = {y^{'}}^{'} \cdot e^{2 t} + \dot{y} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = ...$

Das Auflösen nach ${y^{'}}^{'}$ überlasse ich Dir und ebenso die Berechneung von ${y^{'}}^{'}^{'}$ . Wenn Du das alles in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt, fallen alle Potenzen von e heraus und Du hast eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung in t mit konstanten Koeffizienten.

Viele Grüße

Yokozuna

TUUUUU aktiv_icon

21:45 Uhr, 04.06.2013

Vielen Dank für die Hilfe, hat mir volllll weitergeholfen ;)

Liebe Grüße

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