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Variablentransformation bei Doppelintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Doppelintegral, Integration, transformation

The3hadow

15:27 Uhr, 18.01.2012

Hallo!

Ein Integral wird über den Bereich

Q = {(x, y) \in ℝ^{2} : | x | + | y | \leq 1}

integriert. Dazu soll die Koordinatentransformation

u = x - y

und

v = x + y

verwendet werden.
Nun ist meine Frage: Wie bestimme ich das Gebiet über das dann nach der Transformation integriert wird?

Vielen Dank für etwaige Antworten!

Yokozuna aktiv_icon

15:48 Uhr, 18.01.2012

Hallo,

am besten macht man sich eine Skizze von dem Gebiet. Das Gebiet wird ja durch die Bedingung

| x | + | y | \leq 1

bestimmt. Da in der Bedingung Beträge vorkommen, bedeutet dies, daß man Fallunterscheidungen vornehmen muß. Es gibt 4 Möglichkeiten:

x \geq 0

und

y \geq 0, x \geq 0

und

y < 0

usw., die man der Reihe nach betrachten muß. Ich fange mal mit der 1. Möglichkeit an:

x \geq 0

und

y \geq 0 \Rightarrow | x | = x

und

| y | = y

. Damit lautet die Bedingung für diesen Fall:

x + y \leq 1

oder

y \leq 1 - x

. Bei Gleichheit gilt im Grenzfall

y = 1 - x

. Dies ist eine Gerade, die man sich am besten gleich in die Skizze einzeichnet. Wegen

y \leq 1 - x

liegen die zum Gebiet gehörenden Punkte unterhalb der Geraden

y = 1 - x

und wegen

x \geq 0

und

y \geq 0

im 1. Quadrant. Damit solltest Du das 1. Teilgebiet haben.
Durch Untersuchung der 3 anderen Fälle bekommst Du 3 weitere Teilgebiete, die dann zusammen mit dem ersten Teilgebiet das gesamte Gebiet

Q

ergeben.
Versuche mal diese Teilgebiete zu ermitteln.

Viele Grüße
Yokozuna

The3hadow

15:53 Uhr, 18.01.2012

Vielen Dank für deine Antwort!
Wie die Menge

Q

aussieht und was die zugehörigen Integrationsgrenzen sind ist mir schon klar. Mein Problem ist nur, dass ich nicht genau weiß, wie ich die Integrationsgrenzen nach der Transformation bestimmen soll.

: (

The3hadow

16:06 Uhr, 18.01.2012

Okay...habe es jetzt mit deinem Denkanstoß komplett hinbekommen. Vielen Dank für deine Mühe! :-D)

Yokozuna aktiv_icon

16:12 Uhr, 18.01.2012

Sorry, Du hast es ja in Deiner Frage eigentlich deutlich genug geschrieben. Ich habe es leider irgendwie überlesen.
Also wir haben ja die Bedingungen für die 4 Teilgebiete im xy-Koordinatensystem und wir haben die Transformationsformeln:

u = x - y

v = x + y

Dieses Gleichungssystem lösen wir nach

x

und

y

auf. Das ergibt:

x = \frac{1}{2} \cdot (v + u)

y = \frac{1}{2} \cdot (v - u)

Diese Ausdrücke setzen wir jetzt in die Bedingungen für die einzelnen Teilgebiete ein. Nehmen wir mal die Bedingungen für das 1. Teilgebiet:

x \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (v + u) \geq 0 \Rightarrow v + u \geq 0 \Rightarrow v \geq - u

y \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (v - u) \geq 0 \Rightarrow v - u \geq 0 \Rightarrow v \geq u

y \leq 1 - x \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (v - u) \leq 1 - \frac{1}{2} \cdot (v + u) \Rightarrow \frac{v}{2} - \frac{u}{2} \leq 1 - \frac{v}{2} - \frac{u}{2} \Rightarrow v \leq 1

Damit haben wir die Bedingungen für das 1. transformierte Teilgebiet:

v \leq 1

und

v

oberhalb der beiden Grenzgeraden

v = - u

und

v = u

Wenn man das für die anderen 3 Teilgebiete auch macht, kann man sich das gesamte transformierte Teilgebiet skizzieren und dann dürften die Integrationsgrenzen für

u

und

v

schnell klar sein.

Viele Grüße
Yokozuna

964161

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