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Variablentrennung

Schüler

Tags: Differentialgleichung

stinlein aktiv_icon

09:21 Uhr, 18.03.2018

Die Aufgabe lautet:

5 c) (2 x + 1) \cdot y' + y + 2 x = 0

Bestimme die allgemeine Lösung (bei AWA auch die spezielle Lösung).
Es gelingt mir einfach nicht die Variablen zu trennen. Welchen Trick muss ich hier anwenden?
Vielen Dank für die Hilfestellung schon im Voraus!

(2 x + 1) \cdot y' + y = - 2 x

y' + \frac{y}{2 x + 1} = \frac{- 2 x}{2 x + 1}

Ich stecke da schon fest! Warum wohl? Habe ich da schon etwas falsch gemacht?

stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

10:32 Uhr, 18.03.2018

z . B

. Möglichkeit

(2 \cdot x + 1) \cdot y' + y = - 2 \cdot x

(2 \cdot x + 1) \cdot y' + y = 0 \Rightarrow y = \frac{C}{\sqrt{- 2 \cdot x - 1}}

y_{P} = \frac{C (x)}{\sqrt{- 2 \cdot x - 1}}

usw.

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10:40 Uhr, 18.03.2018

Vielen Dank, respon, für die Hilfe. Komme leider noch nicht zurecht.

y' = - \frac{y}{2 x + 1}

\frac{y'}{y} = - \frac{1}{2 x + 1}

\frac{\frac{d x}{d y}}{y} = - \frac{1}{2 x + 1} d x

Ich weiß nicht, wie ich auf der linken Seite den Ausdruck integriere.

Linke Seite: ???
Rechte Seit:

- \frac{ln (| 2 x + 1 |)}{2} + c

lg stinlein

Respon

11:22 Uhr, 18.03.2018

y \frac{'}{y} = - \frac{1}{2 \cdot x + 1}

\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = - \frac{1}{2 \cdot x + 1}

\frac{d y}{y} = - \frac{1}{2 \cdot x + 1} d x

Integration

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11:24 Uhr, 18.03.2018

Danke vielmals. DANKE!
Versuche nun wieder weiterzukommen.

ln (y) = \frac{- ln (2 x + 1)}{2}

2*lny

= - ln (2 x + 1)

Bin ich da noch richtig? Entlogarithmieren - ich habe Probleme!

stilein

Respon

11:45 Uhr, 18.03.2018

Post von

10 : 32

Da war ich wohl zu schusselig, bitte gegebenenfalls korrigieren.

stinlein aktiv_icon

11:58 Uhr, 18.03.2018

Zuerst einmal wieder vielen Dank. Entschuldige die Sonntagsbelästigung. Ich habe vergessen, das Ergebnis dieser Rechnung bekanntzugeben.

y = (\frac{2}{3} \cdot (1 - x) + \frac{c}{\sqrt{2 x + 1}}

Respon

12:08 Uhr, 18.03.2018

Ja, das hätte ich auch ( meine "-" weiter oben ignorieren ).

stinlein aktiv_icon

12:18 Uhr, 18.03.2018

Danke für die Antwort!
Stecke bei meinem Post um

11.24

Uhr fest uzw. nach dem Integrieren!
Ich weiß nicht, wie ich richtig entlogarithmiere!

ln

bezieht sich ja nur auf den Zähler!
lny

= - \frac{ln (2 x + 1)}{2} + c

y_{h} = - \frac{2 x - 1}{2} + c

Das dürfte also falsch sein!
lg stinlein

Respon

12:31 Uhr, 18.03.2018

- \frac{1}{2} \cdot ln (a) = ln (\frac{1}{\sqrt{a}})

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12:34 Uhr, 18.03.2018

Vielen lieben Dank für die Übermittlung der Formel, ich wusste da keinen Ausweg mehr!
Mache weiter! Will dir aber nicht den Sonntag vermiesen. Ich habe sicher noch einige Fragen zu dieser Aufgabe. Versuche es dann abends nochmals, oder?
lg stinlein

Respon

12:38 Uhr, 18.03.2018

Und schreib lieber

+ ln (c)

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12:39 Uhr, 18.03.2018

Ganz lieben Dank. Wann werde ich endlich etwas richtig machen?
stinlein

Respon

12:43 Uhr, 18.03.2018

War ja auch richtig, aber mit

+ ln (c)

kommst du zur "kompakteren" Darstellung

y = \frac{c}{\sqrt{2 \cdot x + 1}}

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12:47 Uhr, 18.03.2018

Ja, vielen Dank! Das werde ich mir super markieren! Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntagnachmittag und vielleicht - falls ich nicht zur Lösung gelange - abends wieder.
Freue mich darauf!
stinlein

Respon

12:50 Uhr, 18.03.2018

Du bist eigentlich nur einen kleinen Schritt von der Lösung entfernt.
ABER
Vita brevis, ars longa.

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13:32 Uhr, 18.03.2018

Hyppokrates war ein gescheiter Mann! Sein Zitat ist eine

w

A .!

Das freut mich, hoffentlich komme ich hin. Musste eben unterbrechen, da meine Mutter einen Apfelstrudel macht und ich musste die Äpfel schälen und aufblättern. Danke für die Ermutigung. Jetzt rechne ich wieder weiter:

y'_{p} = (c' (x)) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} - (c (x)) \cdot \frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}

\frac{c^{'} (x)}{\sqrt{2 x + 1}} - \frac{c (x)}{{(\sqrt{2 x + 1})}^{3}} + \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}} + 2 x = 0

(c^{'} (x)) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} - \frac{c (x)}{(2 x + 1) \cdot (\sqrt{2 x + 1})} + \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}} + 2 x = 0

Gemeinsamer Nenner!

\frac{c' (x) \cdot (2 x + 1)}{(2 x + 1) \cdot \sqrt{2 x + 1}} - \frac{c (x)}{(2 x + 1) \cdot \sqrt{2 x + 1}} + \frac{c (x) \cdot (2 x + 1)}{\sqrt{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) = - 2 x}

Da kürzt sich jetzt nichts weg - das heißt, ich habe einen Fehler bei der Rechnung!!
Rechne schon nach!
DANKE DIR ganz herzlich für jegliche Hilfe!

lg stinlein

Roman-22

20:37 Uhr, 18.03.2018

>

Da kürzt sich jetzt nichts weg
Soll es ja auch nicht - oder welchen Bruch hast du da im Auge?
Du meinst, dass sich die Terme mit

C (x)

nicht aufheben - von kürzen kann keine Rede sein.

>das heißt, ich habe einen Fehler bei der Rechnung!!
Ja, könnte damit zu tun haben, dass du wieder mal beim Einsetzen in die Angabe übersehen hast, dass dort nicht

y'

allein steht, sondern

(2 x + 1) \cdot y' . .

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11:15 Uhr, 19.03.2018

Danke dir für die Hilfe! Genau das habe ich vergessen!
Ich komme aber trotzdem nicht ans Ziel.
Also:

\frac{(2 x + 1) \cdot c' (x)}{\sqrt{2 x + 1}} - \frac{c (x)}{(\sqrt{2 x + 1} \cdot (2 x + 1))} + \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}} = - 2 x

Jetzt die gesamte Gleichung

\cdot (2 x + 1)

Nun heben sich die beiden c(x)-Terme auf! So sollte es ja auch sein. Aber jetzt wird es problematisch.

\frac{(2 x + 1) \cdot (c^{'} (x))}{\sqrt{2 x + 1} = - 2 x}

c^{'} (x) = \frac{- 2 x}{\sqrt{2 x + 1}}

.....integrieren

c (x) = \frac{- 2 \cdot (x - 1) \cdot (\sqrt{2 x + 1})}{3} + c

Ich hoffe, dass das stimmt!?

Wie komme ich nun zu y?

Ergebnis sollte sein:

y = \frac{2}{3} \cdot (1 - x) + \frac{c}{\sqrt{2 x + 1}}

DANKE fÜR DIE HILFE!

stinlein

Roman-22

14:35 Uhr, 19.03.2018

>

Wie komme ich nun zu y?
Indem du dein nun gewonnenes

c (x) \in y = c \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}

einsetzt.

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15:05 Uhr, 19.03.2018

Danke, Roman-22!
Ich weiß nicht, was mich da so aus der Bahn wirft.
Also ich habe es ja schon viele Male probiert.

c (x) = \frac{- 2 (x - 1) \cdot \sqrt{2 x + 1}}{3} + c

y = \frac{- 2 (x - 1) \cdot \sqrt{2 x - 1}}{3} + \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}}

Beim ersten Summanden habe ich das

\sqrt{2 x + 1}

zu viel!
So?
Danke für die Hilfe! Ich glaube, ich blick da nicht mehr durch!
stinlein

Roman-22

16:36 Uhr, 19.03.2018

Den gleichen Denkfehler hattest du doch schon auch bei einigen anderen Aufgaben, die du hier eingestellt hast. mach doch nicht immer die gleichen Fehler, es gibt so viele andere, die du machen kannst ;-)

Das

c (x)

ist KEINE Partikulärlösung!!

Du kannst mir der VdK auf zwei leicht unterschiedliche Arten zur allgemeinen Lösung der Angabe-DGL kommen:

y_{h} = \frac{C}{\sqrt{2 x + 1}}

(1.Art) Wir suchen nun NUR EINE Partikulärlösung mithilfe der VdK.

y_{p} = \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}}

und kommen auf (das hast du ja richtig berechnet und ich übernehme nun deine Art der Zusammenfassung bis auf den Namen der Integrationskonstanten)

c (x) = - \frac{2}{3} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2 x + 1} + K

Da wir in dieser ersten Spielart nur eine beliebige Partikulärlösung suchen, können wir die Integrationskonstante

K

beliebig wählen - ich wähle

K = 0

Also haben wir

c (x) = - \frac{2}{3} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2 x + 1}

und mit

y_{p} = \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}}

erhalten wir dann eben

y_{p} = \frac{- \frac{2}{3} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2 x + 1}}{\sqrt{2 x + 1}}

oder vereinfacht

y_{p} = - \frac{2}{3} \cdot (x - 1)

.
Mit

y = y_{h} + y_{p}

ergibt sich dann die Gesamtlösung

y = \frac{C}{\sqrt{2 x + 1}} - \frac{2}{3} \cdot (x - 1) = \frac{2}{3} (1 - x) + \frac{C}{\sqrt{2 x + 1}}

(2.Art) Diesmal suchen wir mittels VdK gleich die Gesamtlösung der gegebenen DGL:

y = \frac{c (x)}{\sqrt{2 x + 1}} (⋆)

Wie vorhin kommen wir auf

c (x) = - \frac{2}{3} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2 x + 1} + K

und setzen das nun (diesmal mit der allgemeinen Integrationskonstanten

K)

in die Gleichung

(⋆)

ein:

y = \frac{- \frac{2}{3} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2 x + 1} + K}{\sqrt{2 x + 1}} = - \frac{2}{3} \cdot (x - 1) + \frac{K}{\sqrt{2 x + 1}} = \frac{2}{3} \cdot (1 - x) + \frac{K}{\sqrt{2 x + 1}}

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18:56 Uhr, 19.03.2018

DANKE! DANKE!
Ich habe bis jetzt gerechnet, deshalb konnte ich dir nicht früher für all deine Mühe danken. Muss jetzt eine kurze Pause machen, dann werde ich deine Antwort analysieren. Ich sehe, du hast mir das bestens aufbereitet. Mal sehen, was die nächste Aufgabe bringt!

Roman-22, ich weiß, du legst nicht sooo viel Wert auf die Dankesworte. Aber

d a s

war einfach spitze! Sollte ich zu deinen Ausführungen noch eine Frage habe, dann hoffe ich, dass ich mich nochmals dazu melden darf. Schließe vorerst einmal die Aufgabe ab!
Bis auf bald!
stinlein

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