Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Varianz - Bruch von Variablen

Varianz - Bruch von Variablen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion

JanAusWarschau aktiv_icon

22:00 Uhr, 12.10.2021

Sei

X

und

Y

unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen von Exponentialverteilung, dass

E [X] = E [Y] = \frac{1}{λ} > 0, λ \neq 1 .

Sei

Z = \frac{X}{X + Y}

. Berechne

V a r [Z]

Optionen:

a)

\frac{1}{λ + 1}

\frac{1}{12}

\frac{λ}{λ + 1}

\frac{1}{2}

e) keiner von oben genannten Werten

Ich hatte eine Idee es schlau zu machen und

E [\frac{1}{B^{2}}]

zu finden, da

B

in dem Fall ist eine Variable aus Gammaverteilung (Summe von Variablen aus Exponentialverteilung). Dann habe ich versucht, die variablen umzuwandeln (z.B.

T = \frac{X}{X + Y}, S = X

) konnte ich aber kein Integral berechnen. Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

07:27 Uhr, 14.10.2021

Setzen wir

U = \frac{X}{X + Y}, V = X + Y

bzw. umgestellt

X = U V, Y = V - U V

, so ist der Zufallsvektor

(U, V)

ebenfalls stetig verteilt, und dessen Dichte berechnet sich per Transformationssatz gemäß

f_{U, V} (u, v) = f_{X, Y} (u v, v - u v) \cdot v = f_{X} (u v) \cdot f_{Y} (v - u v) \cdot v = λ e^{- λ u v} \cdot λ e^{- λ (v - u v)} \cdot v = λ^{2} v \cdot e^{- λ v}

für

0 \leq u \leq 1

und

v \geq 0

, und man bekommt damit die gesuchte Randverteilung

f_{U} (u) = \int_{0}^{\infty} f_{U, V} (u, v) d v = 1

für alle

0 \leq u \leq 1

.

D.h.,

U = \frac{X}{X + Y}

ist schlicht und einfach stetig gleichverteilt auf

[0, 1]

. Was das für deren Varianz bedeutet, solltest du selbst rausbekommen.

Weitere (hier nicht benötigte) Nebenresultate der obigen Transformation sind:

a)

U, V

sind unabhängig.

b)

V

ist erlang- bzw. gammaverteilt. Das bekommt man anderweitig auch einfach per Faltung heraus (was du ja oben schon erwähnt hast).

JanAusWarschau aktiv_icon

15:11 Uhr, 14.10.2021

Vielen Dank HAL9000!

1542475

1542392

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?