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Varianz - Bruch von Variablen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion

 
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JanAusWarschau

JanAusWarschau aktiv_icon

22:00 Uhr, 12.10.2021

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Sei X und Y unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen von Exponentialverteilung, dass E[X]=E[Y]=1λ>0,λ1.

Sei Z=XX+Y. Berechne Var[Z]

Optionen:

a) 1λ+1

b) 112

c) λλ+1

d) 12

e) keiner von oben genannten Werten

Ich hatte eine Idee es schlau zu machen und E[1B2] zu finden, da B in dem Fall ist eine Variable aus Gammaverteilung (Summe von Variablen aus Exponentialverteilung). Dann habe ich versucht, die variablen umzuwandeln (z.B. T=XX+Y,S=X) konnte ich aber kein Integral berechnen. Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

07:27 Uhr, 14.10.2021

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Setzen wir U=XX+Y,V=X+Y bzw. umgestellt X=UV,Y=V-UV, so ist der Zufallsvektor (U,V) ebenfalls stetig verteilt, und dessen Dichte berechnet sich per Transformationssatz gemäß

fU,V(u,v)=fX,Y(uv,v-uv)v=fX(uv)fY(v-uv)v=λe-λuvλe-λ(v-uv)v=λ2ve-λv

für 0u1 und v0, und man bekommt damit die gesuchte Randverteilung

fU(u)=0fU,V(u,v)dv=1 für alle 0u1 .

D.h., U=XX+Y ist schlicht und einfach stetig gleichverteilt auf [0,1]. Was das für deren Varianz bedeutet, solltest du selbst rausbekommen.


Weitere (hier nicht benötigte) Nebenresultate der obigen Transformation sind:

a) U,V sind unabhängig.

b) V ist erlang- bzw. gammaverteilt. Das bekommt man anderweitig auch einfach per Faltung heraus (was du ja oben schon erwähnt hast).

Frage beantwortet
JanAusWarschau

JanAusWarschau aktiv_icon

15:11 Uhr, 14.10.2021

Antworten
Vielen Dank HAL9000!