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Varianz abhängiger ZV's

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Varianz, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

limes21 aktiv_icon

10:39 Uhr, 07.06.2021

Hallo,

kurze Frage und zwar finde ich es leider nicht mehr in meinen Unterlagen und komme grade auch nicht drauf.

Wie berechnet man die Varianz

σ^{2} (x^{2})

?

ist das nicht:

σ^{2} (x \cdot x) =

Kovarianz

(x, x) = σ^{2} (x)

?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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10:50 Uhr, 07.06.2021

Natürlich ist

V a r (X^{2})

nicht

V a r (X)

.
Man berechnet es wie man immer Varianz berechnet.

V a r (X^{2}) = E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}

usw.

limes21 aktiv_icon

13:36 Uhr, 07.06.2021

Danke für die Antwort.

Weitere kurze Frage, wo du schon so nett bist und antwortest:

Kennst du den Beweis für den Diversifikationseffekt zufällig?

Also gegeben

w_{1} + w_{2} = 1

und

X

sowie

Y

als Zufallsvariablen

warum gilt?:

σ^{2} (w_{1} \cdot X + w_{2} \cdot Y) < w_{1}^{2} σ^{2} (X) + w_{2}^{2} σ^{2} (Y)

bzw. mit den Standardabweichungen

σ (w_{1} \cdot X + w_{2} \cdot Y) < w_{1} σ (X) + w_{2} σ (Y)

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13:40 Uhr, 07.06.2021

"warum gilt?:"

Gilt nicht. Z.B.

w_{1} = 0, w_{2} = 1

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13:41 Uhr, 07.06.2021

"bzw. mit den Standardabweichungen"

"Bzw." hat da nichts zu suchen, es sind keine äquivalente Aussagen.

Also was genau willst du wissen?

limes21 aktiv_icon

13:41 Uhr, 07.06.2021

Mein Fehler,

w

darf nicht negativ oder null sein.

Es ist nicht äquivalent, müsste aber trotzdem gelten oder?

Falls ich mich irre, bitte nur auf das mit den Standardabweichungen eingehen.

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13:55 Uhr, 07.06.2021

"Mein Fehler, w darf nicht negativ oder null sein."

σ^{2} (w_{1} X + w_{2} Y) < w_{1}^{2} σ^{2} (X) + w_{2}^{2} σ (Y)

gilt im Allgmeinen nicht.
Denn

σ^{2} (w_{1} X + w_{2} Y) = w_{1}^{2} σ^{2} (X) + 2 w_{1} w_{2} C o v (X, Y) + w_{2}^{2} σ (Y)

. Wenn also

C o v (X, Y) \geq 0

, dann stimmt die Ungleichung nicht mehr. Und

C o v (X, Y) \geq 0

ist gewiss möglich.

Mit Standardabweichungen gilt es auch nicht.
Z.B.

w_{1} = w_{2} = 0.5

und

X = Y

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14:03 Uhr, 07.06.2021

Ich empfehle, dass du nachliest, was genau der Diversifikationseffekt ist.
Denn er wird anders formuliert als du es machst.

limes21 aktiv_icon

14:17 Uhr, 07.06.2021

platt formuliert sagt der Diversifikationseffekt doch nur aus, dass die Varianz des Portfolios welches aus

X

und

Y

(als Wertpapiere) mit verschiedenen Gewichtungen besteht geringer ist, als die Varianz der einzelnen Wertpapiere, entsprechend also auch dasselbe bei den Standardabweichungen. Geringeres Risiko bei Diversifikation. Sonst gäbe es den Effekt nicht.

Dein Beweis das es nicht stimmen kann, ist eben der, warum ich hier nachgefragt habe.

Anscheinend gilt er aber unter gewissen Rahmenbedingungen nicht. Hast du denn erkannt welche das sind?

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14:22 Uhr, 07.06.2021

"platt formuliert sagt der Diversifikationseffekt doch nur aus, dass die Varianz des Portfolios welches aus X und Y (als Wertpapiere) mit verschiedenen Gewichtungen besteht geringer ist, als die Varianz der einzelnen Wertpapiere, entsprechend also auch dasselbe bei den Standardabweichungen."

Das ist so platt, das ist schon falsch ist. :-)
Den Effekt gibt's nur unter bestimmten Bedingungen und nicht allgemein.

"Geringeres Risiko bei Diversifikation. Sonst gäbe es den Effekt nicht."

Gibt's auch nicht immer. S. oben.

"Anscheinend gilt er aber unter gewissen Rahmenbedingungen nicht. Hast du denn erkannt welche das sind?"

Warum soll ich das machen? Mich hat Wirtschaft noch nie interessiert.
Aber in Google findet man schnell eine Antwort.

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14:44 Uhr, 07.06.2021

Oder auf Youtube, wie z.B. hier: www.youtube.com/watch?v=Dc9A84lwVCs

HAL9000

15:11 Uhr, 07.06.2021

@limes21

Womöglich hast du

σ^{2} (w_{1} X + w_{2} Y) < w_{1} σ^{2} (X) + w_{2} σ^{2} (Y)

gemeint?

Zumindest das stimmt für

w_{1} > 0, w_{2} > 0

mit

w_{1} + w_{2} = 1

und unkorrelierte (sowie auch für negativ korrelierte) Zufallsgrößen

X, Y

(natürlich positive Varianz bei beiden vorausgesetzt).

HAL9000

15:11 Uhr, 07.06.2021

@limes21

Womöglich hast du

σ^{2} (w_{1} X + w_{2} Y) < w_{1} σ^{2} (X) + w_{2} σ^{2} (Y)

gemeint?

Zumindest das stimmt für

w_{1} > 0, w_{2} > 0

mit

w_{1} + w_{2} = 1

und unkorrelierte (sowie auch für negativ korrelierte) Zufallsgrößen

X, Y

(natürlich positive Varianz bei beiden vorausgesetzt).

limes21 aktiv_icon

18:28 Uhr, 07.06.2021

@Hal9000 ja genau das meinte ich, da ist mir ein Fehler unterlaufen.

Ich probiere es einfach nochmal so, dass ihr auch mehr damit anfangen könnt:

Ich habe einen Screenshot eingefügt. Hier ist die Korrelation negativ, allerdings muss derselbe Effekt, um den es hier geht auch bei positiv korrelierten gehen, solange sie nicht mit

+ 1

korreliert sind.

Der Tutor hat hier ein Portfolio (Punkt auf der Kurve) berechnet was eine geringere Varianz hat als das Wertpapier

Y

und entsprechend links davon auf der abgebildeten Kurve liegt und dann gesagt, es gilt:

Ich kürze hier Portfolio mit

p

ab.
Weiterhin gilt für

p,

dass

p = w_{1} \cdot Y + w_{2} \cdot X

und

w_{1} + w_{2} = 1

σ (p) < min {σ (Y), σ (X)}

woraus dann folgen würde:

σ (p) < w_{1} σ (Y) + w_{2} σ (X)

Im Kontext wurde dann nicht ganz klar, ob er es für alle Portfolios gemeint hat oder nicht.

Meine Vermutung: er hat gemeint, dass es für alle Portfolios/Punkte gilt, die links von Wertpapier

Y

liegen.

Ich wollte hier dann eigentlich nur fragen, ob meine Vermutung stimmt.

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19:55 Uhr, 07.06.2021

"Hier ist die Korrelation negativ, allerdings muss derselbe Effekt, um den es hier geht auch bei positiv korrelierten gehen, solange sie nicht mit +1 korreliert sind."

Wer hat das gesagt?

"Weiterhin gilt für p, dass p=w1⋅Y+w2⋅X und w1+w2=1

σ(p)<min{σ(Y),σ(X)} woraus dann folgen würde:"

Dass

σ (p) < min σ (Y), σ (X)

bei positiven Korrelation nicht gelten muss, ist einfach zu sehen.
Nimm z.B.

X

und

Y

mit

σ (X) = 1

σ (Y) = 2

und

C o v (X, Y) = 1

. Und dann

w_{1} = 0.2

w_{2} = 0.8

.

Dann hast du

σ (p) = \sqrt{0.04 V a r (X) + 0.64 V a r (Y) + 0.32 C o v (X, Y)} = \sqrt{0.04 + 2.56 + 0.32} > 1

limes21 aktiv_icon

20:24 Uhr, 07.06.2021

Kurze Frage noch zu oben:

Folgt denn überhaupt, gegeben

(1)

trifft zu aus

(1)

die

(2)

1)

σ(p)<min

{

σ(Y),σ(X)}

2)

σ(p)<w1σ(Y)+w2σ(X)

Nun zu deiner Antwort:

Ok, also nicht gelten MUSS, oder NIE gilt bei positiver Korrelation?

Anbei nochmal ein Bild, mit positiver Korrelation

= 0,65

aus deinem empfohlenen Video, wo es wiederum gelten würde für die Punkte links vom LBJ oder? Bitte korrigiere wenn ich falsch liege.

Wenn es also stimmt und auch bei positiver Korrelation vorkommen kann, wann ist es dann genau der Fall?

Die Kurve ist die quadratische Funktion

σ^{2} (p) = a \cdot E {(p)}^{2} + b \cdot E (p) + c

Kann man es mit Hilfe der Eigenschaften der Parabel (die in den Abbildungen immer "gekippt" dargestellt wurde) festmachen?
Es wäre nett, falls du es mir sagen könntest, da ich mir relativ sicher bin, dass du es eigentlich schon weißt.

DrBoogie aktiv_icon

21:44 Uhr, 07.06.2021

"Folgt denn überhaupt, gegeben (1) trifft zu aus (1) die (2)?

1) σ(p)<min{σ(Y),σ(X)}

2) σ(p)<w1σ(Y)+w2σ(X)"

Ja, offensichtlich, denn dann

σ (X) \geq min {σ (X), σ (Y)} > σ (p)

und

σ (Y) \geq min {σ (X), σ (Y)} > σ (p)

, also

w_{1} σ (Y) + w_{2} σ (X) > w_{1} σ (p) + w_{2} σ (p) = σ (p)

.

"Wenn es also stimmt und auch bei positiver Korrelation vorkommen kann, wann ist es dann genau der Fall?

Die Kurve ist die quadratische Funktion σ2(p)=a⋅E(p)2+b⋅E(p)+c
Kann man es mit Hilfe der Eigenschaften der Parabel (die in den Abbildungen immer "gekippt" dargestellt wurde) festmachen?
Es wäre nett, falls du es mir sagen könntest, da ich mir relativ sicher bin, dass du es eigentlich schon weißt."

Nein, weiß ich nicht. Das muss man halt untersuchen. Die Frage ist, wann ist

\sqrt{w^{2} V a r (X) + 2 w (1 - w) C o v (X, Y) + (1 - w)^{2} V a r (Y)}

kleiner als beide

\sqrt{V a r (X)}

und

\sqrt{V a r (Y)}

. Ich habe eine starke Vermutung, dass darauf keine einfache Antwort existiert.
Das ist sogar im trivialen Fall

C o v (X, Y) = 0

nicht so einfach.

limes21 aktiv_icon

11:38 Uhr, 14.06.2021

Hallo Boogie,

ich hoffe ich darf dich nochmal bemühen.

Ich habe nun als Antwort bekommen, dass

σ (p) < min (σ (X); σ (Y)),

wie wir vorangehend besprochen haben, gilt, wenn die beiden einzelnen ZV's bzw. Einzelaktien hinsichtlich Erwartungswert und Standardabweichung gleich sind.

Allerdings finde ich das nicht hilfreich und sehe den Sinn der Antwort nicht. Verstehst du eventuell was gemeint sein könnte?

LG

limes21 aktiv_icon

11:38 Uhr, 14.06.2021

Hallo Boogie,

ich hoffe ich darf dich nochmal bemühen.

Ich habe nun als Antwort bekommen, dass

σ (p) < min (σ (X); σ (Y)),

DrBoogie aktiv_icon

11:55 Uhr, 14.06.2021

"wenn die beiden einzelnen ZV's bzw. Einzelaktien hinsichtlich Erwartungswert und Standardabweichung gleich sind."

Wenn

X

und

Y

gleiche Erwartungswert und Standardabweichung haben, dann vereinfacht sich alles stark, natürlich. Dann haben wir für

p = w_{1} X + w_{2} Y

mit

σ^{2} = V a r (X) = V a r (Y)

V a r (p) = w_{1}^{2} V a r (X) + 2 w_{1} w_{2} C o v (X, Y) + w_{2}^{2} V a r (Y) = (w_{1}^{2} + w_{2}^{2}) σ^{2} + 2 w_{1} w_{2} C o v (X, Y)

.
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung sagt, dass

C o v (X, Y) \leq \sqrt{V a r (X) V a r (Y)}

, also in diesem Fall

\leq σ^{2}

.
Damit haben

V a r (p) \leq (w_{1}^{2} + w_{2}^{2}) σ^{2} + 2 w_{1} w_{2} σ^{2} = (w_{1} + w_{2})^{2} σ^{2} = σ^{2}

.
Also

σ (p) \leq σ (X) = σ (Y)

. Und

\leq

kann nur dann

=

sein, wenn

X = c Y

mit irgendeinem

c

, was wegen

E (X) = E (Y)

auf

c = 1

führt.
Also haben

σ (p) < min {σ (X), σ (Y)}

genau dann, wenn

X \neq Y

(unter den Voraussetzungen, dass

X

und

Y

gleiche Erwartungswert und Standardabweichung haben). Wenn

X = Y

, hat man offensichtlich

p = X = Y

und deshalb

σ (p) = min {σ (X), σ (Y)}

.

Ich finde es aber recht idiotisch,

min {σ (X), σ (Y)}

zu schreiben, wenn vorausgesetzt wird, dass sie gleich sind.

limes21 aktiv_icon

10:03 Uhr, 18.06.2021

Hi,

meine vorige Aussage war ein Fehler des Tutors, entschuldige bitte.

Die Begründung für das alles liegt anscheinend in:

Da:

1)

cov(X,Y)

= σ_{x} \cdot σ_{y} \cdot

corr(X,Y)

\leq σ_{x} \cdot σ_{y}

gilt

2) σ_{p} \leq w_{1} \cdot σ_{x} + (1 - w_{1}) \cdot σ_{y},

sofern

0 \leq w_{1} \leq 1

.

Inwiefern folgt hier 2 aus 1? Könntest du kurz erklären wie sich das in den Kontext einfügt, es würde mir sehr helfen.
Weil eigentlich hat sich hier doch nichts von dem geklärt, was du oben beschrieben hast, außer das die Kovarianz nun umgeschrieben wurde in

σ_{x} \cdot σ_{y} \cdot

corr(X,Y) , oder übersehe ich etwas?

LG

DrBoogie aktiv_icon

11:24 Uhr, 21.06.2021

"1) cov(X,Y) =σx⋅σy⋅ corr(X,Y) ≤σx⋅σy
gilt
2)σp≤w1⋅σx+(1−w1)⋅σy,
sofern 0≤w1≤1.
Inwiefern folgt hier 2 aus 1?"

Das habe ich im Prinzip schon gezeigt, dass ist nur einfache Rechnerei.

σ_{p}^{2} = V a r (p) = V a r (w_{1} X + (1 - w_{1}) Y) = w_{1}^{2} V a r (X) + 2 w_{1} (1 - w_{1}) C o v (X, Y) + w_{2}^{2} V a r (Y) \leq

\leq w_{1}^{2} V a r (X) + 2 w_{1} (1 - w_{1}) σ_{x} \cdot σ_{y} + (1 - w_{1})^{2} V a r (Y) = w_{1}^{2} σ_{x}^{2} + 2 w_{1} (1 - w_{1}) σ_{x} \cdot σ_{y} + (1 - w_{1})^{2} σ_{y}^{2} =

= (w_{1} σ_{x} + (1 - w_{1}) σ_{y})^{2}

limes21 aktiv_icon

00:23 Uhr, 24.06.2021

Ich komme grade nichtmehr mit.

Wir sagen jetzt

"1) cov(X,Y) =σx⋅σy⋅ corr(X,Y) ≤σx⋅σy
gilt
2)σp≤w1⋅σx+(1−w1)⋅σy,
sofern 0≤w1≤1.

Aber vorher war immer

σ (p) \leq min (σ_{x}; σ_{y})

und damit auch

σ (p) \leq w_{1} \cdot σ (x) + w_{2} \cdot σ (y)

nicht allgemein gültig.

Was hat sich jetzt geändert?

DrBoogie aktiv_icon

08:43 Uhr, 24.06.2021

"Aber vorher war immer
σ(p)≤min(σx;σy)
und damit auch
σ(p)≤w1⋅σ(x)+w2⋅σ(y)
nicht allgemein gültig."

Wieso "damit auch"?

σ (p) \leq w_{1} \cdot σ (x) + w_{2} \cdot σ (y)

gilt immer, wenn

w_{1}, w_{2} \geq 0

und

w_{1} + w_{2} = 1

.
Aber

σ (p) \leq min (σ_{x}; σ_{y})

gilt nicht immer. Diese Ungleichung muss ja nicht gelten, damit

σ (p) \leq w_{1} \cdot σ (x) + w_{2} \cdot σ (y)

gilt.
Ich hab ehrlich gesagt auch keine Ahnung, was das mit Minimum sein soll.

limes21 aktiv_icon

16:20 Uhr, 24.06.2021

Danke.

"Ich hab ehrlich gesagt auch keine Ahnung, was das mit Minimum sein soll."

Ich habe zwar nochmal gefragt, aber ich glaube das wissen die selbst nicht so genau.

LG

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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