Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Varianz bei Binomialverteilung

Varianz bei Binomialverteilung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Binomialverteilung, Stochastik, Varianz

anonymous

16:07 Uhr, 04.05.2012

Hallo,

ich soll die Varianz für eine Binomialverteilung herleiter und bin am Scheitern..

Bisher habe ich:

V (X) = \sum_{k = 0}^{n} {(k - μ)}^{2} \cdot P (X = k)

Durch umformungen bin ich jetzt auf

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \cdot P (X = k) - μ^{2}

gekommen.

Sieht auf jeden Fall schonmal einfacher aus, wie ich aber jetzt auf

V (X) = n \cdot p \cdot q

kommen soll, ist mir schleierhaft.

Unser Mathebuch sagt dazu nur: "Auf einen Beweis verzichten wir an dieser Stelle."

Hat also jemand einen Vorschlag? Danke!

Gruß,
Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

anonymous

16:38 Uhr, 04.05.2012

Ich seh grad, dass

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \cdot P (X = k)

ja dem Erwartungswert ziemlich ähnlich sieht. Kann ich dann mit

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \cdot P (X = k) = E (X^{2})

weiter rechnen?
Ich kann mir aber nicht vorstellen, was

E (X^{2})

aussagt..

prodomo aktiv_icon

18:03 Uhr, 04.05.2012

Auf diesen Beweis verzichten die meisten Schulbücher. Ich habe ihn nur bei Lambacher-Schweizer, alte Ausgabe LK Stochastik gefunden.
Benutze

V (X_{1} + X_{2} + ...) = V (X_{1}) + V (X_{2}) + . .

V (X_{i}) = {(0 - p)}^{2} \cdot (1 - p) + {(1 - p)}^{2} \cdot p = p \cdot (1 - p)

(tritt ein oder tritt nicht ein)
Das gilt für alle

X_{i}

gleichermaßen, also für

n

Stück, demnach

n \cdot p \cdot q

anonymous

18:21 Uhr, 04.05.2012

Ja, aus dem Grund soll ich das ja machen ;-) UNd wir sollen mit der GLeichung von oben arbeiten..

Aber trotzdem Danke für deine Mühe! :-)

Matlog aktiv_icon

19:14 Uhr, 04.05.2012

Du kannst das sicherlich auch direkt beweisen! Aber ich kann nur warnen, das wird eine fürchterlich wüste Rechnerei.

Alles was Du bisher oben gerechnet hast ist richtig, gilt aber für jede Verteilung. Du musst dann dort für

P (X = k)

die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung einsetzen.

anonymous

19:20 Uhr, 04.05.2012

Naja, ich muss es machen..

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Stochastikpdf/VarianzBinomial.pdf

Seite 3 liefert einen kurzen Beweis, den ich aber ab Zeile 3 nichtmehr verstehe. Der Beweis setzt bei dem an, was ich in meinem ersten Post rausgefunden habe.

Matlog aktiv_icon

19:35 Uhr, 04.05.2012

Ich hatte an etwas anderes gedacht. Aber das aus Deinem link ist eleganter. Die teilen das (genau wie bei prodomo) in die einzelnen Bernoulli-Experimente auf, wo immer nur 0 oder 1 herauskommt.

Die Begründung von Zeile 2 zu Zeile 3 wird weiter unten erst nachgeliefert.

anonymous

19:42 Uhr, 04.05.2012

Ich verstehe die Begründungen nicht, was aber wohl daran liegt, dass ich nicht verstehe, wieso

X

nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann.

Matlog aktiv_icon

19:46 Uhr, 04.05.2012

Nicht

X,

aber jedes der

X_{i}

X_{i}

ist beispielsweise der i-te Wurf der Münze. In diesem einen Wurf gibt es nur 1 Treffer oder 0 Treffer. Summiert man das zusammen ergibt die Summe dieser Einsen oder Nullen die Gesamtzahl der Treffer.

anonymous

19:55 Uhr, 04.05.2012

Achso, verständlich.

Meine letzte Zeile lautet bisher

. .

= E (X^{2}) - μ^{2}

Hierraus ergibt sich ja ein unfassbar langes Binom. Wie lässt es sich gut begründen, dass da genau das rauskommt, was in der 2. Zeile behauptet wird?

Und zu den

(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

Summanden: Wie kann man das erklären? Zum Beispiel mit nem Urnenmodell? Wir haben

n

Kugeln, von denen 2 mit einem Griff gezogen werden. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, weil

a \cdot b = b \cdot a

gilt.

Matlog aktiv_icon

20:02 Uhr, 04.05.2012

Wenn Du eine Summe aus

n

Summanden quadrierst, dann entstehen beim Ausmultiplizieren logischerweise

n^{2}

Summanden. Diese werden jetzt nur unterschieden zwischen denen, die mit sich selbst multipliziert wurden

(n

Stück) und denen wo

i

und

j

verschieden waren (insgesamt

n \cdot (n - 1)

Stück.

Deine Erklärung mit dem Urnenmodell passt. Man könnte genauso gut mit Beachtung der Reihenfolge ziehen, dann würden die Vorfaktoren 2 aber wegfallen.

Matlog aktiv_icon

20:22 Uhr, 04.05.2012

Man sollte vielleicht noch deutlich erwähnen, dass an einer Stelle die Unabhängigkeit der verschiedenen Bernoulli-Experimente verwendet wird (genauso wie im kurzen Beweis von prodomo).
Für

E (X_{i} \cdot X_{j})

wird berechnet

P (X_{i} = 1

und

X_{j} = 1) = P (X_{i} = 1) \cdot P (X_{j} = 1) = p \cdot p = p^{2}

anonymous

20:27 Uhr, 04.05.2012

Unabhängigkeit bedeutet in diesem Fall, dass wir einzelne Bernoulli Experimente durchführen, die nicht voneinander abhängen, oder?

Wieso sagt man eigentlich

X = X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}

?

Das habe ich bis eben einfach so akzeptiert, weil es auf den ersten Blickes logisch erschien. Aber mal angenommen ich hätte ein 4 stufiges Bernoulli Experiment.
Dann hätte ich

X = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10,

aber was genau sagt mir das?

Matlog aktiv_icon

20:32 Uhr, 04.05.2012

Nein!

X

ist die Gesamtzahl aller Treffer, die man aus den einzelnen Treffern

(0

oder

1)

zusammenaddieren kann. Schau Dir nochmal an, was ich um

19 : 46

Uhr geschrieben habe!

Matlog aktiv_icon

20:40 Uhr, 04.05.2012

Also bei

n = 5

und der Folge Treffer, Niete, Niete, Treffer, Niete haben wir:

X = 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2,

also 2 Treffer.

Deine Bemerkung zur Unabhängigkeit war richtig!

anonymous

20:54 Uhr, 04.05.2012

Achso okay.

Wir haben bisher stillschweigens angenommen dass

E (X_{1} + X_{2}) = E (X_{1}) + E (X_{2})

gilt. Ist dem so?

Matlog aktiv_icon

20:57 Uhr, 04.05.2012

Das dürfte sehr leicht zu zeigen sein. Das gilt sogar auch ohne die Unabhängigkeit.

anonymous

21:02 Uhr, 04.05.2012

Okay, dann beschäftige ich mich damit nicht.

Ich habe immer noch Probleme das mit dem

E (X_{i} \cdot X_{j}) = p^{2}

nachzuvollziehen.

Das Produkt ist entweder 1 oder

0,

das verstehe ich. Aber die Tabelle nebenbei verstehe ich nicht.

Matlog aktiv_icon

21:04 Uhr, 04.05.2012

Wann ist denn

X_{i} \cdot X_{j} = 1

und mit welcher Wahrscheiblichkeit. In allen anderen Fällen ist

X_{i} \cdot X_{j} = 0

. Dann den Erwartungswert berechnen.

anonymous

21:08 Uhr, 04.05.2012

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt 1 ist, ist doch

\frac{1}{4}

oder nicht?

Matlog aktiv_icon

21:11 Uhr, 04.05.2012

Aber nur bei

p = \frac{1}{2}

. Allgemein

p \cdot p

anonymous

21:18 Uhr, 04.05.2012

Also

P (X_{i} = 1) \cdot P (X_{j} = 1) = p \cdot p = p^{2}

.
Und wie zeigt man möglichst schnell, dass

E (X_{1} + X_{2}) = E (X_{1}) + E (X_{2})

gilt? So einfach ist das für mich leider nicht

: (

Ich würds so machen:

Unter der Voraussetzung, dass

X

binomialverteilt ist.

E (X_{1} + X_{2}) = 2 \cdot p = 1 \cdot p + 1 \cdot p = E (X_{1}) + E (X_{2})

Aber ich glaub nicht, dass das ein Beweis ist..

Matlog aktiv_icon

21:22 Uhr, 04.05.2012

Ja, eigentlich schon. Dabei verwendest Du

E (X) = n \cdot p

für eine Binomialverteilung.
Du kannst aber auch direkt

X_{1}

und

X_{2}

betrachten. Beide können 0 oder 1 annehmen, die Summe dann

0,1

oder 2. Dann die Wahrscheinlichkeiten bestimmen und den Erwartungswert ausrechnen.

anonymous

21:44 Uhr, 04.05.2012

So hab jetzt alles vernünftig aufgeschrieben :-)

Wieso ist

E (X_{m} \cdot X_{n}) = p^{2}

und nicht

2 p^{2},

weil ich ja im Prinzig 2 Glieder einer Bernoulli kette betrachte?

Matlog aktiv_icon

21:54 Uhr, 04.05.2012

Danke! Schlaf auch gut!

anonymous

21:57 Uhr, 04.05.2012

Bitte? :-D)

Matlog aktiv_icon

22:02 Uhr, 04.05.2012

Ach, das war tatsächlich ernst gemeint?
Na gut,

X_{m} \cdot X_{n}

ist EINE Zufallsvariable, die die Werte 0 oder 1 haben kann, 1 mit Wahrscheinlichkeit

p^{2}

. Deshalb

E (X_{m} \cdot X_{n}) = 1 \cdot p^{2} + 0 \cdot (1 - p^{2}) = p^{2}

anonymous

22:05 Uhr, 04.05.2012

Ja, war es.
Dann haben wirs jetzt. Vielen lieben Dank und gute Nacht! ;-)

999040

998942

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?