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Varianz einer Zufallsvariablen : X= min(x1,x2,x3,)

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

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15:54 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

Ich habe eine Frage zu Zufallsvariablen.

Ich soll - so die Aufgabenstellung

u . a

. den Erwartungswert für die Zufallsvariable

X =

"kleinste geworfene Augenzahl" bei drei Würfen berechnen. Es liegt Gleichverteilung vor

d . h

p ((x 1, x 2, x 3)) = \frac{1}{6^{3}}

Es gäbe also die Realisationen

X = 1

X = 2

X = 3

. .

X = 6

Wie ich den Erwartungswert berechne ist mir im Prinzip klar.

E (X) =

x*Px(x) für alle Realisierungen und deren Wahrscheinlichkeiten aufsummieren.

Mein Problem ist eher, wie finde ich die Anzahl der für die jeweiligen Realisierungen zugrunde liegenden Elementarereignisse (um dann die Wahrscheinlichkeiten zu haben :-) ) bei

216

Elementarereignissen^^?

kann mir Bitte jemand einen Tip geben?

Vielen Dank im Voraus

lg

Andrew

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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17:29 Uhr, 25.05.2014

Ich vermute mal, es ist der Sinn der Aufgabe, dass Du Dir genau solche Gedanken machst.
Fange einfach mit

P (X = 6)

an, das ist sehr einfach, jetzt

P (X = 5) . .

.

Als Tipp:
Bei gewürfelten Zahlen wie

(1,3,4)

gibt es 6 verschiedene Reihenfolgen, wie diese gewürfelt werden können; für

(1,3,3)

nur 3 und für

(2,2,2)

nur eine Reihenfolge.

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18:25 Uhr, 25.05.2014

Schneller geht es so:
Berechne

P (X = 6)

.
Benutze P(X=5)+P(X=6)=P(alle Augenzahlen

\geq 5)

zur Berechnung von

P (X = 5)

.
Benutze P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=P(alle Augenzahlen

\geq 4)

zur Berechnung von

P (X = 4)

. .

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19:01 Uhr, 25.05.2014

Ja, das ist natürlich die Idee, dass ich mir Gedanken mache :-).

Also arbeite ich hier mit dem Modell - Ziehen mit Zurückziehen, also allgemein

N^{n}

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19:06 Uhr, 25.05.2014

Ja, das wusstest Du aber offensichtlich schon vorher:

6^{3} = 216

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19:15 Uhr, 25.05.2014

Hmm ja, das war mir irgendwie klar (und in der Aufgabenstellung sowieso gegeben).....

Was mich nur irritiert ist..:

Wenn ich das so durchexerziere dann ist ja

N

bei

X = 6 = 1, n

bleibt logischerweise unverändert bei

3 ...

. bei

X = 5

ist

N = 2

usw...

P (X = 1) = 1

? und warum summieren sich die Wahrscheinlichkeiten der Realisierungen nicht zu 1 auf (so wie ich das bei allen anderen Beispielen zu Zufallsvariablen immer gesehen habe?

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19:23 Uhr, 25.05.2014

Natürlich müssen sich die Wahrscheinlichketen zu 1 summieren.
Deshalb ist

P (X = 1) = 1

auch absolut falsch!

Was ist denn jetzt

P (X = 6)

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20:19 Uhr, 25.05.2014

Naja,

P (X = 6)

ist

\frac{1}{216}

quasi

1 \cdot 1 \cdot 1

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20:22 Uhr, 25.05.2014

Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in drei Würfen nur Fünfen und Sechsen zu würfeln?

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20:28 Uhr, 25.05.2014

\frac{6}{216}

(und danke auch für deine Geduld)

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20:30 Uhr, 25.05.2014

Das ist leider falsch!

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20:31 Uhr, 25.05.2014

gut, da setzt mein Denkfehler ein der sich dann runter bis nach

P (X = 1)

zieht.

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20:32 Uhr, 25.05.2014

Wahrscheinlichkeit beim einfachen Würfeln für 5 oder 6 ist

\frac{2}{6}

.
Beim dreifachen Würfeln

\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6}

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20:46 Uhr, 25.05.2014

und das war dass, was du mir in deinem Post von oben sagen wolltest.. :-)

ich habe

P (X = 6)

hole

P (X = 5),

und habe die ersten beiden Wahrscheinlichkeiten...
nun rechne ich die Wahrscheinlichkeit für nur 4ren aus und addieren

P (X = 5)

und

P (X = 6)

drauf..

also würde ich für

P (X = 4)

rechnen

= \frac{1}{6^{3}} + P (X = 5) + P (X = 6)

für

P (X = 3)

analog

\frac{1}{6^{3}} + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6)

für

P (X = 2) ... . .

+ P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6)

und zuletzt

P (X = 1) = 1 - P (X 6 ... . . + P (X = 2)

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20:52 Uhr, 25.05.2014

Ja, so ähnlich.
Was wir gerade berechnet haben ist

P (X \geq 5) = \frac{8}{216}

Daraus folgt

P (X = 5) = \frac{8}{216} - \frac{1}{216} = \frac{7}{216}

.
Jetzt

P (X \geq 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6)

usw.

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21:04 Uhr, 25.05.2014

ja das

\geq

Zeichen hatte ich mal eben übersehen.

Gut. Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld. Kannst du mir vlt. ein gutes Buch empfehlen wo solche Geschichten aufgegriffen werden und Aufgaben dazu kommen?

Mich wurmt es echt, dass ich einerseits so für mein Studium wichtige Sachen wie bedingte Wahrscheinlichkeit und so verstehe und bei so "Kinderkrams" abkacke. Damit möchte ich mich iwie nicht zufrieden geben!... - lieber weiterlernen

lieben Gruß

Andrew

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21:11 Uhr, 25.05.2014

Ein wirklich gutes Buch kann ich leider nicht empfehlen.

Bei kombinatorischen Problemen vertuen sich viele. Ich denke Übung hilft!

Viel Erfolg!

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