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Varianz zweier korrelierter Zufallsvariablen

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

wimacarsi aktiv_icon

20:05 Uhr, 01.05.2015

Hallo alle zusammen,

ich bin in einem neuen Abschnitt, bei dem ich gar nichts anfangen kann. Ich habe ihn als Bild angefügt.

Ich weiß, dass es für euch etwas schwer sein wird nur mit dem Ausschnitt zu verstehen um was es geht, aber vielleicht versteht ihr auch ohne Vorkenntnis mehr als ich.

(Ich stelle zwischendrin mal eine andere kurze Frage, was heißt joint distribution? Woran erkenne ich es? Hat es irgendwie mit der "Symmetrie" zu tun in Tabelle 4 mit dem

b

? )

Also es geht um Glücksspiel. Es werden gleichzeitig zwei (gezinkte) Münzen geschmissen und man setzt auf die beiden Münzen. Die Münzen haben eine identische Verteilung, sind aber korelliert.

f_{1}

ist %Satz des Einsatz vom Gesamtkapital auf Münze 1 und

f_{2}

auf Münze 2.

f_{1}^{*}

und

f_{2}^{*}

sind dabei der optimale Anteil der bei der Kelly-Strategie entsteht.

Wie kommt man auf

V a r (X_{i}) = 1 - m^{2}

? Ich komme für i=1 z.B. auf

V a r (X_{1}) = (1 - m)^{2} + (- 1 - m)^{2} = 1 + m^{2}

Mache ich etwas falsch?

Ich verstehe ehrlich gesagt die Tabellen nicht.

Ich weiß wie gesagt, dass es ohne Vorwissen für euch vielleicht unmöglich ist es zu verstehen. Aber vielleicht hat ja jemand eine Idee.
______

gezinkt heißt, dass die Münze nicht zu 50 % Kopf und Zahl zeigt, sondern z.B. Kopf zu 53 % und Zahl zu 47 %.

PS. Ich wollte gerade die ganze Frage löschen, weil es wenig Sinn hat. Aber dann wars mir zu Schade, weil ich lange überlegt und lange getippt hab.

Falls ihr das zu unsinnig findet, da der komplette Zusammenhang fehlt, dann überlest die Frage einfach. Ich werde den Thread dann morgen Abend einfach schließen.

Sorry wie gesagt, aber in diesem Abschnitt habe ich keine einzige Idee...

Werde dann übernächste Woche den Prof vielleicht fragen.

Matlog aktiv_icon

22:21 Uhr, 01.05.2015

Ich hab mir das nicht komplett angesehen und verstehe die Zusammenhänge nicht.
Aber Dein Fehler bei der Berechnung von Var(

X_{1})

ist offensichtlich!
Richtig wäre:
Var(

X_{1}) = {(1 - m)}^{2} \cdot (c + m + b) + {(- 1 - m)}^{2} \cdot (b + c)

und mit

b + c = \frac{1 - m}{2}

ergibt sich das angegebene Ergebnis.

wimacarsi aktiv_icon

13:54 Uhr, 02.05.2015

Hallo Matlog,

Danke für die Antwort :-) Ich hatte schon die Hoffnung aufgegeben, da ich wirklich wenig Infos gegeben habe und wenig verstanden habe. Desto erstaunlicher, dass du das ohne Vorwissen direkt gelöst hast :-) Danke nochmal

Habe jetzt durch deine Gleichung das Ergebnis

1 - m^{2}

rausbekommen.
Aber wie kamst du auf die Faktoren (ich sehe schon, woher die Faktoren kommen, aber weshalb?)? Ich wäre nicht auf die Idee gekommen jetzt das so zu machen. Hast du den Sinn dahinter verstanden? Ich verstehe nämlich die Tabelle 4 nicht. Warum steht dort

X_{1} :

? Warum

:

? und dann

X_{:} 2

und

- 1

.

Meine erste Interpretation war:
- Wenn die Zufvar

X_{1} = 1

ist, dann ist

X_{2} = 1

zu der Wkeit

c + m

und

X_{2} = - 1

zu der Wkeit

b

.
- Wenn die Zufvar

X_{1} = - 1

ist, dann ist

X_{2} = 1

zu der Wkeit

b

und

X_{2} = - 1

zu der Wkeit

c

.

Durch diese Interpretation müsste doch auch

c + m + b + b + c = 1

sein oder? also

m + 2 c + 2 b = 1

?

Ansonsten ist

V a r (X_{2})

ist auch gleich

1 - m^{2}

, da

X_{2}

identisch verteilt ist wie

X_{1}

oder?
________________

Darf ich dann direkt noch fragen, warum zweimal

C o r (X_{1}, X_{2}) = 4 c - (1 - m)^{2}

und

C o r (X_{1}, X_{2}) = [4 c - (1 - m)^{2}] / (1 - m^{2})

steht? Warum zwei verschiedene Korrelationen?

Und dann unten fängt er sogar noch mit

c o r (X_{1}, X_{2})

an. Mit kleinem c...

Wäre dir wirklich sehr dankbar :-)

Matlog aktiv_icon

01:16 Uhr, 03.05.2015

Zu später Stunde noch kurz:

Tabelle 4 ist die gemeinsame Verteilung von

X_{1}

und

X_{2}

.
Die Beschriftung ist etwas aus dem Ruder gelaufen, das soll bedeuten:

P (X_{1} = 1, X_{2} = 1) = c + m

P (X_{1} = 1, X_{2} = - 1) = b

P (X_{1} = - 1, X_{2} = 1) = b

P (X_{1} = - 1, X_{2} = - 1) = c

Daraus ergeben sich dann die Randverteilungen:

P (X_{1} = 1) = c + m + b

P (X_{1} = - 1) = b + c

(Für

X_{2}

dasselbe.)
Hieraus kannst Du nun Erwartungswert und Varianz von

X_{1}

berechnen.

Und aus der gemeinsamen Verteilung ergibt sich die Kovarianz (Vorsicht Druckfehler im Aufgabentext: Cov(

X_{1}, X_{2}) = 4 c - {(1 - m)}^{2};

obwohl ich da gerade etwas anderes raus habe, liegt vielleicht an der späten Stunde) und dann die Korrelation Cor(

X_{1}, X_{2})

.

Versuch das mal selbst zu rechnen!

Matlog aktiv_icon

09:34 Uhr, 03.05.2015

So, ausgeschlafen ergibt sich tatsächlich:
Cov(

X_{1}, X_{2}) = 4 c - {(1 - m)}^{2}

und somit
Cor(

X_{1}, X_{2}) = \frac{4 c - {(1 - m)}^{2}}{1 - m^{2}}

In Tabelle 5 ist noch ein kleiner Fehler:
Für Cor(

X_{1}, X_{2}) = 0

ist offensichtlich

c = \frac{{(1 - m)}^{2}}{4},

der Rest stimmt.

wimacarsi aktiv_icon

01:28 Uhr, 04.05.2015

Ich glaube, dass in diesem Kapitel, wo ich wirklich Null Ahnung hatte, so ziemlich alle meine Fragen geklärt wurden.
Ich danke für deine Hilfe, da ich wirklich nicht viel beizutragen hatte.

Ich habe den Thread als beantwortet markiert, aber vielleicht kann mir jemand noch kurz sagen, was eine joint Verteilung ist? Gibt es ein deutsches Wort hierfür?

Das ist in meinem 1. Beitrag in dem Bild. Tabelle 4 zeigt eine joint Verteilung.

Wäre aber nicht so wichtig, denn der Wichtigste Teil hat sich dank matlog gelöst.

DANKE

Matlog aktiv_icon

06:49 Uhr, 04.05.2015

Joint distribution = gemeinsame Verteilung
Wirklich interessant ist diese nur für abhängige Zufallsvariable.

Für Dich wäre es sicher eine gute Idee, Dich über Begriffe wie gemeinsame Verteilung oder Randverteilung irgendwo zu informieren. Egal ob in einem Buch, einem Skript, bei wiki oder wo auch immer...

wimacarsi aktiv_icon

17:10 Uhr, 04.05.2015

Danke,

ich habe halt selbst etwas gegooglet etc. Bin gerade etwas in Zeitdruck, deswegen auch etwas verzweifelt.

Und allgemein Danke, dass du mir bei dem Problem geholfen hast!

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