 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Varianzschätzer n-1 Freiheitsgrade
Varianzschätzer n-1 Freiheitsgrade
Universität / Fachhochschule
Erwartungswert
Tags: Freiheitsgrad, Varianz
 
|
  |
|---|
|
hallo, irgendwie lese ich ganz oft, dass man bei der korrigierten stichprobenvarianz die mit irgendwelchen unabhängigen Freiheitsgraden erklärt... irgendwie soll es nicht mehr so viele "Freiheitsgrade" geben und deshalb muss man plötzlich durch teilen und nicht durch . kann es sein, dass das totaler humbug ist?? oder laesst sich das wirklich irgendwie mit diesen freiheitsgraden erklaeren?? |
|
 |
|
Hallo,
der Hauptgrund, warum man sich über diesen Vorfaktor Gedanken macht, besteht darin, dass ein erwartungstreuer Schätzer für sein soll. Wenn man den Erwartungswert von berechnet, erhält man, dass dieser korrigierende Faktor dazu nötig ist. Das Wort „Freiheitsgrad“ kann man sich dabei auch so erklären: Um zu berechnen, verwendet man den Mittelwert der Stichprobe; das heißt also, dass einer der Werte für die Formel „keine Überraschung“ mehr ist, denn wenn man alle Werte bis auf einen und dann auch noch den Mittelwert kennt, kann man daraus natürlich diesen letzten Wert bestimmen - also wenn der Mittelwert festgelegt ist, dann habe ich nur für Stichprobenelemente die freie Wahl ( Freiheitsgrade) und der letzte Wert ist bereits eindeutig. Wenn Du möchtest, kann ich den Nachweis für die Erwartungstreue noch nachreichen. P.S.: Wenn Du etwas oft liest, dann ist es doch ein bisschen überheblich, anzunehmen, es wäre Humbug, oder? |
 |
|
hey... mir ist klar was das soll... das ergibt sich aus der erwartungswert des varianzschätzers entspricht genau der varianz, was durch die korrektur erreicht wird. das ist auch eine erklärung, die ich verstehe... jetzt lese ich ueberall genau diesen satz "weil ein keine Überraschung mehr ist" muss man durch teilen... dies ist eine erklärung, die mir ueberhaupt nicht einleuchtet. denn mit dieser erklaerung haette man die varianz (achtung ich meine nicht den varianzschaetzer) auch gleich mit definieren sollen. denn hier ist ein der grundpopulation auch keine ueberraschung mehr. auch wenn ein keine überraschung mehr ist, moechte man ja einen durchschnitt berechnen... und das ohne überraschung ist immernoch teil der durschnittsberechnung... also muss man doch immernoch durch die gesamt anzahl der "teilnehmer" teilen, ob überraschung oder nicht... jetzt frage ich mich, ob es da noch mehr zu verstehen gibt... denn waere ja so eine interpretationsmoeglichkeit mit freiheitsgraden bestimmt oftmals eine sehr gute "abkuerzung" um statistische zusammenhaenge zu überblicken. oder ob sich das irgendjemand ausgedacht hat, der nicht verstanden hat ?? und ja, es klingt wohl ein wenig ueberheblich, aber habe ich einfach nichts im internet gefunden, was die freiheitsgrade mit in zusammenhang bringt. vielmehr wird dann immer auf den mathematischen zusammenhang verzichtet und laeuft eher darauf hinaus, dass man sich mit den freiheitsgraden und fehlenden überraschungen abfindet... und deshalb frage ich ja auch ob da mehr dran ist...? danke schonmal fuer die antwort |
|
|
|
Na ja, die Varianz soll ja definitionsgemäß genau die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert sein, der dort als feste bekannte Zahl angesehen wird. Nun möchte man aber die Varianz schätzen, ohne den Erwartungswert genau zu kennen. Das heißt, diesen muss man gleich mitschätzen, indem man in der Varianzschätzerdefinition nicht schreibt, sondern eben die entsprechende Summe. Deshalb ist die Definition der Varianz nicht völlig mit der Definition des Varianzschätzers vereinbar, denn im Schätzer ist mehr unbekannt.
Auf Deinen Einwand bezogen bedeutet das, dass man in der Varianz nach Definition eigentlich schon noch eine Überraschung hat, denn der Stichprobenmittelwert wird eher selten genau dem formalen Erwartungswert entsprechen. |
|
|
|
hmm... das sind erklärungen, die ich verstehe, weil diese sich aus ergeben... auch ist mir klar, dass durch die schätzung des mittelwertes ein systematischer fehler bei der schaetzung der varianz eingebaut wird. ergo, man brauch eine korrektur... aber wie zieht man von hier aus den bogen zu irgendwelchen "freiheitsgraden" ?? |
|
|
|
Ich könnte mir noch folendes vorstellen: In der oft angenommenen Standardsituation, dass hilft die folgende Aussage dabei, Konfidenzbereiche und Tests aufzustellen: Es gilt . Also spielt die - Quadrat- Verteilung zum Parameter eine Rolle; und den Parameter einer Verteilung nennt man nunmal Freiheitsgrad... |
|
|
|
ok... die verteilung schau ich mir nochmal genauer an... wird bissl dauern... vielleicht hat in der zwischenzeit noch jemand ne idee? |
|
|
|
Die Verteilung ist nicht so kompliziert; es ist die Verteilung von , wobei i.i.d. verteilt sind. Die Verteilung ist zum Beispiel bei Tests für den Erwartungswert allgemeiner normalverteilter Zufallsvariablen nützlich. |
|
|
|
Hallo! Ich versuche mal das Problem noch weiter zu verdeutlichen: Wenn ich MokLok richtig verstehe, dann ist das Prinzip der erwartungstreuen Schätzung der Populationsvarianz ebenso wie die mathematische Herleitung der Korrektur klar. Ebenso besteht die Intuition, dass hier eine Korrektur erfolgen muss, da ja mit dem Stichprobenmittelwert bereits einen Schätzwert implizit in der Schätzung der Populationsvarianz enthalten ist. Nehmen wir mal die Definition der Anzahl der Freiheitsgrade als „Anzahl frei wählbarer Werte in einem System“. Das macht hier Sinn, da für eine möglichst genaue Schätzung der Populationsvarianz in der Formel anstelle des Stichprobenmittelwert eigentlich der Populationsmittelwert verwendet werden sollte. Dadurch wird der Stichprobenmittelwert also zum erwartungstreuen „Stellvertreter“ einer unbekannten Konstanten und ein ist tatsächlich nicht mehr frei wählbar, um diese Konstante zu erhalten (wenn ich Mauthagoras richtig verstanden habe). Aber eine allgemein anwendbare Verbindung zwischen diesem Konzept der Freiheitsgrade und der Tatsache, dass man im Faktor von dem Element ganz einfach „1“ abzieht, ist (zumindest für mich) nicht ersichtlich. Ein Beispiel: Bei der Berechnung eines arithmetischen Mittels wird die SUMME der relevanten Werte durch die Anzahl dieser Werte geteilt. Lässt sich ein fehlender Freiheitsgrad in der Schätzung eines arithmetischen Mittels also immer dadurch berücksichtigen, dass man in der Berechnung bei der „Division durch die Anzahl der relevanten Werte“ eben diese Anzahl um die fehlenden Freiheitsgrade reduziert? Und wie sieht es dann beim geometrischen Mittel aus? Hier wird das PRODUKT der relevanten Werte errechnet und die n-te Wurzel daraus gezogen, wobei die Anzahl der Werte im Produkt darstellt. Müsste man dann hier entsprechend bei einem fehlenden Freiheitsgrad die (n-1)-te Wurzel aus dem Produkt der Werte ziehen? Gibt es solche allgemeingültigen Regeln für den Einsatz von Freiheitsgraden - oder ist das Konzept „Freiheitsgrad“ hier nur eine Interpretationshilfe? Ich sage jetzt mal ganz provokativ: Vielleicht muss man einen Unterschied machen zwischen der expliziten Berechnung von Freiheitsgraden, wie man sie . zur Beurteilung eines Regressionsmodells benötigt, und der Interpretation eines Zusammenhangs, wie in dem hier diskutierten Fall. |
|
|
|
siehe letzten post (wollt nur, dass hier ein fragezeichen entsteht, damit ihr euch das auch durchlest und vielleicht das ganze mal beantwortet :-) |
|
|
|
In der Tat spielt beispielsweise bei der linearen Regression eine Rolle (es gehen also zwei Freiheitsgrade verloren). Auch hier ist es "keine Überraschung", dass man durch zwei Punkte eine perfekte Gerade legen kann. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
997033
981784