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Variation Konstante AWP

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: AWP, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Variation

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fusroda

18:12 Uhr, 18.01.2018

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Hallo, hab folgende Aufgabe... siehe Bild

Ergebnis müsste

y (x) = e^{x} - x - 1

lauten

ich komme nur auf

- x - 1

und

y (0) = 0

stimmt dann nicht
was hab ich flasch gemacht,
bin dankbar über eure Hilfe, vielen Dank

varkonst

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

anonymous

anonymous

19:19 Uhr, 18.01.2018

Antworten

| y 0 | = e^{x + c} \Rightarrow | y 0 | = e^{c} \cdot e^{x}

mit

e^{c} = k, k > 0 \Rightarrow

| y 0 | = k \cdot e^{x}

1.Fall für

y \geq 0;

2.Fall für

y < 0

y 0 = + k \cdot e^{x} - y 0 = k \cdot e^{x} \Rightarrow y = - k \cdot e^{x}

y 0 = k \cdot e^{x},

k€R

Ansatz

y = y 0 \cdot z; y' = y 0' \cdot z + y 0 \cdot z';

\cdot y = k \cdot e^{x} \cdot z; y' = k \cdot e^{x} \cdot z + k \cdot e^{x} \cdot z';

Einsetzen in Ausgangsgleichung

y' - y = x

\Rightarrow k \cdot e^{x} \cdot z + k \cdot e^{x} \cdot z' - k \cdot e^{x} \cdot z = x;

\Rightarrow k \cdot e^{x} \cdot z' = x \Rightarrow z' = \frac{x}{k \cdot e^{x}} \Rightarrow \frac{d z}{d x} = \frac{x}{k \cdot e^{x}}

\Rightarrow d z = \frac{1}{k} \cdot (x \cdot e^{- x}) \cdot d x | \int

\Rightarrow I : \int d z = \frac{1}{k} \cdot \int x \cdot e^{- x} d x

\Rightarrow

rechte Seite partielle Integration:

f = x

dg

= e^{- x}

df

= d x g = - e^{- x}

fg

- \int

g*df

- x \cdot e^{- x} - \int - e^{- x} \cdot d x

\Rightarrow - x \cdot e^{- x} - e^{- x} + C 1

I:

z = \frac{1}{k} \cdot (- x \cdot e^{- x} - e^{- x} + C 1)

Resubstitution in

\cdot :

y = k \cdot e^{x} \cdot \frac{1}{k} \cdot (- x \cdot e^{- x} - e^{- x} + C 1) \Rightarrow y = - x - 1 + C 1 \cdot e^{x}

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:16 Uhr, 18.01.2018

Antworten

vielen Dank für deine Antwort. Leider habe ich überhaupt nichts davon verstanden. scheint eine andere Methode zu sein wie ich das gewohnt bin.

fusroda

20:25 Uhr, 18.01.2018

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merkwürdigerweise hat sich meine Antwort vervielfacht

\frac{:}{}

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

20:29 Uhr, 18.01.2018

Antworten

Hallo
das kommt davon, server langsam, du drückst

n

mal auf senden.
dein Fehler beim integrieren lässt du die Konstante weg! dadurch hast du sttt

C \cdot e^{x}

dann nur

e^{x}

.
Gruß ledum

fusroda

20:37 Uhr, 18.01.2018

Antworten

ah ledum super.
okay ja meinst du die Konstante

c

bei

c (x)

oder ?
oder schon vorher bei integral

f'

Antwort

Roman-22

21:56 Uhr, 18.01.2018

Antworten

Du hast alles komplett richtig gerechnet, bis aber Opfer deiner Schlamperei geworden! Man darf nicht unterschiedliche Dinge

(y_{h}, y_{p}, y)

gleich bezeichnen!

Nicht

y = e^{x} \cdot C,

sondern

y_{h} = e^{x} \cdot C

. Das ist nur die Lösung der zugehörigen homogenen DGL

Nicht

y (x) = - x - 1,

sondern

y_{p} = - x - 1

oder

y_{p} (x) = - x - 1

. Das ist nur eine von dir mittels Variation der Konstanten gefundene Partikulärlösung.

Und jetzt müsste es bei dir links außen mit

8) y (x) = y_{h} (x) + y_{p} (x)

weitergehen, also ist die allgemeine Lösung der DGL

y (x) = e^{x} \cdot C - x - 1

auf das gleiche Ergebnis kommst du auch, wenn du bei der Integration von

C' (x)

noch eine Integratiuonskonstante kinzufügst, aber nenne sie bitte nicht auch C.

Und Schritt

9)

besteht nun darin, die Anfangsbedingung zu verwursten, also für

x = 0

und für

y = 0

einzusetzen und daraus den konkreten Wert für

C

zu berechnen:

0 = e^{0} \cdot C - 0 - 1

0 = C - 1

C = 1

Und schlussendlich besteht Schritt

10)

darin, dieses

C

in die allgemeine Lösung einzusetzen, um die gesuchte spezielle Lösung mit

y (0) = 0

zu erhalten:

y (x) = e^{x} - x - 1

Frage beantwortet

fusroda

08:44 Uhr, 19.01.2018

Antworten

Herzlichen Dank!!
Stimmt , ich hatte sowas schon früher mal gerechnet nun wieder vergessen

Gut erklärt

fusroda

09:31 Uhr, 19.01.2018

Antworten

Ich habe versucht bei einer anderen Aufgabe ganz genau auf die Konstanten zu achten.
Herausgekommen ist wieder quatsch ....doh
Habe mal nummeriert ,um es leichter zu machen wo Fehler steckt

var2 (1)

fusroda

09:42 Uhr, 19.01.2018

Antworten

wie sieht es nochmal aus wenn man in eine scheinbar unendlich partielle Integrationsschleife rutscht... lieber substituieren oder wie war das nochmal?
(siehe nächste aufgabe)

ich möchte hiermit nochmal vielen vielen Dank sagen, ohne die Hilfe würde ich nicht weiterkommen, danke sehr

var3

Antwort

Roman-22

12:06 Uhr, 19.01.2018

Antworten

Du versuchst

\int e^{- x^{2}} x d x

durch partielle Integration zu lösen, setzt

f' = e^{- x^{2}}

und behauptest dann f=-2xe^(-x^2)+K_1. Abgesehen davon, dass du bei diesem Schritt des partiellen Integrierens nie eine Integrationskonstante berücksichtigen musst, hast du da differenziert und nicht integriert. Du kannst

e^{- x^{2}}

auch nicht integrieren. Im Wesentlichen hast du da die Gaußsche Fehlerfunktion und die ist letztlich nur eine Abkürzung für dieses Integral.

\to \int e^{- x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2} \cdot e r f (x) + K

.

Das Integral bestimmst du entweder durch Hinsehen und geschicktes Basteln oder durch Substitution:

Genaues Hinsehen: Man erkennt, dass der Integrand fast von der Bauart

f (g (x)) \cdot g' (x)

ist, als ein Ausdruck, wie er beim Differnziern mit der Kettebregel entsteht.

x

ist aber noch nicht ganz die Ableitung von

- x^{2}

.

Daher Basteln wir uns diese Ableitung hin:

\int e^{- x^{2}} x d x = - \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) d x = (⋆)

Jetzt ist der Integrand genau die Ableitung von

e^{- x^{2}}

und wir können das Ergebnis mit

(⋆) = - \frac{1}{2} \cdot e^{- x^{2}} + K

angeben.

Alternativ kommst du mit der Substitution

u = - x^{2}

auch zum gleichen Ergebnis.

Ich würde dir nochmals dringend raten, deinen Rechenabschnitten eine entsprechende Überschrift zu verpasseb, sodass zB im ersten Schritt klar erkennbar ist, dass du hier nur die zugehörige homogene DGL löst. Und wenigsten die Ergebnisse deiner Rechenabschnitte sollten nicht alle die Bezeichnung

y

verwenden. Das Ergebnis des ersten Schritts nennst du sinnvollerweise

y_{h}

.

Ansonsten der Übersicht halber bitte: Neue Aufgabe, neuer Thread!
Trotzdem kurz zur letzten deiner Fragen. Du integrierst I=int

e^{x}

sinx

d x

zweimal partiell und erhältst einen Ausdruck, der wieder I enthält. Du hast also eine Gleichung in I da stehen, die du einfach nach I löst.

Wenns klar ist, abhaken, sonst auch abhaken und neuer Thread für die neue Frage.

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

12:20 Uhr, 19.01.2018

Antworten

Hallo
zu y'-2xy=x
bis

9)

ist alles richtig
dann

c (x) = \int x \cdot e^{- x^{2}} d x

richtig
hier sollte man sehen, dass

(e^{- x^{2}})' = - 2 x \cdot e^{- x^{2}}

ist, was du ja auch schon benutzt hast! damit ist

x \cdot e^{- x^{2}} = - \frac{1}{2} ((e^{- x^{2}})'

und du hast direkt das Ergebnis des Integrals

\int x \cdot e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{1}

und damit die Lösung

y = (- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{1}) \cdot e^{x^{2}} = - \frac{1}{2} + C_{1} \cdot e^{x^{2}}

man sollte am Ende sein Ergebnis IMMER durch einsetzen in die Dgl überprüfen! du kannst auch nur die partikuläre Lösung

y_{p} = - \frac{1}{2}

einsetzen und sehen, dass sie stimmt!
zum zweiten post: wenn du in so ne "Schleife" kommst meist

\int f \cdot g d x = A (x) - b \cdot \int f \cdot g d x

hörst du auf und löst nach

\int f \cdot g d x

auf
hier allgemein

(1 + b) \int f \cdot g d x = A (x) + C

Gruß ledum

fusroda

16:00 Uhr, 19.01.2018

Antworten

zur substitution( habe mir mehr darüber durchgelesen und videos geschaut aber bleibe trotzdem hängen)

(e^−x2)′=−2x⋅e−x2 ist, x⋅e−x2=−12((e−x2)′

man nimmt ja ∫

f (g (x)) \cdot g' (x) d x =

∫f(g)dg

g'

hast du erklärt

g

ist -x²

g'

somit

- 2 x

was ist

f (g (x))

?
oh man es ist beknackt warum verstehe ich das nicht mehr... sitze stunden dran

Antwort

anonymous

anonymous

16:10 Uhr, 19.01.2018

Antworten

Ihr ratet ja auch bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung!
Das Verfahren mit Matritzen und inneren Ableitungen bei der Störfunktion ermöglicht mir sicher eine differential gleichung

10

. Ordnung und mehr zu lösen.
Ich zeige diese Methode hier aber nicht, weil ich nicht weiß ob mein Prof. da ein Coppyright oder sonst irgendwas drauf hat, so dass ich in Schwierigkeiten gerate.

fusroda

16:41 Uhr, 19.01.2018

Antworten

was meinst du?

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

18:55 Uhr, 19.01.2018

Antworten

Hallo
ich habe nichts zur Substitution erklärt, sondern benutzt

\int a \cdot f' (x) d x = a \cdot f (x) + c

und das wissen dass

x \cdot e^{- x^{2}} = (e^{- x^{2}})' \cdot - \frac{1}{2}

ist deshalb kann man das Integral direkt lösen
hier

a = - \frac{1}{2}

mit Substitution

: x^{2} = u,

du

= 2 x d x

damit

\int x \cdot e^{- x} d x = \int \frac{1}{2} \cdot e^{- u}

du
Gruß ledum

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