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Variationsrechnung

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Tags: Theoretische Physik

mathelover90

09:54 Uhr, 18.05.2016

Hallo,

man soll den kurzesten Abstand zwischen zwei Punkten bestimmen
(a) in der Ebene R^2
(b) auf der Oberflache einer Kugel mit Radius r.

Dazu soll ich die Bogenlange einer Kurve zwischen den zwei Punkten als Funktional der Kurve formulieren. Dazu soll ich noch die Euler-Lagrange-Gleichung herleiten und losen.
Und ich soll die jeweilige Kurve minimaler Lange beschreiben.

Ich habe hier keine Ahnung wie ich ansetzen soll, wenn mir jemand den Ansatz mit der man die Aufgabe losen kann zeigen konnte, konnte ich nochmal knobeln.

Vielen Dank im voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

23:36 Uhr, 18.05.2016

Hossa :-)

Ein Funktional

F

ordnet einer Funktion

q (t)

eine Zahl zu. Zur Unterscheidung von Funktionen schreibt man das Argument von Funktionalen oft in eckigen Klammern. Hier wird einer Funktion

q (t)

ihre Bogenlänge zwischen

t_{1}

und

t_{2}

zugeordnet. Das zugehörige Funktional

F [q]

folgt mittels Pythagoras:

F [q] = \int_{(t_{1}, q_{1})}^{(t_{2}, q_{2})} \sqrt{d t^{2} + d q^{2}} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 + {(\frac{d q}{d t})}^{2}} d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}} d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (\dot{q}) d t; L (\dot{q}) := \sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}}

Mittels der Euler-Lagrange-Gleichung (ELG) lässt sich nun die Funktion

q (t)

bestimmen, die das Integral und damit das Funktional

F [q]

zu einem Extremwert macht:

\underset{ELG}{\underset{⎵}{0 = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q}}} = \frac{d}{d t} (\frac{\dot{q}}{\sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}}}) = \frac{\overset{..}{q} \sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}} - \dot{q} \frac{\dot{q} \overset{..}{q}}{\sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}}}}{1 + {\dot{q}}^{2}} = \frac{\overset{..}{q} (1 + {\dot{q}}^{2}) - {\dot{q}}^{2} \overset{..}{q}}{{\sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}}}^{3}} = \frac{\overset{..}{q}}{{\sqrt{1 + {\dot{q}}^{2}}}^{3}} \Rightarrow \overset{..}{q} = 0

Damit ist

\dot{q} = a

mit

a \in ℜ

und

q (t) = a t + b

mit

a, b \in ℜ

. Die gesuchte Funktion

q (t)

ist also eine Gerade.

Die Rechnung für eine Kugeloberfläche geht im Prinzip genauso. Allerdings ist das Funktional und damit die Lagrange-Funktion

L

komplizierter. Du kannst dich z.B. in den Kugelmittelpunkt setzen und von dort aus die Vektoren

{\vec{r}}_{1}

zum Startpunkt und

{\vec{r}}_{2}

zum Endpunkt bestimmen. Dann berechnest du den Winkel

ϕ

zwischen diesen beiden Vektoren im Bogenmaß und multiplzierst ihn mit dem Radius der Kreises...

mathelover90

15:28 Uhr, 19.05.2016

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :-) Hat mir sehr bei der Bearbeitung der Aufgabe geholfen :-)

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