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Vektor 3D Eckpunktkoordinaten berechnen

Schüler

Tags: Eckpunkt, Vektor

anonymous

09:28 Uhr, 03.11.2012

Hallo an alle. Ich bräuchte bitte Hilfe bei dieser Aufgabe, ich komme alleine einfach nicht weiter:

Angabe:
Ermittle die fehlenden Eckpunktkoordinaten des Quadrats ABCD

(2

Lösungen)

A = (1 | - 2 | 3), B = (5 | 5 | 7), D = (d_{1} | 2 | d_{3})

Zuerst habe ich mir den Vektor AB=(4|7|4) ausgerechnet. Danach habe ich den

Normalvektor von Vektor AB

= (- 7 | 4 | 0) (2

Koordinaten vertauschen, 1 Vorzeichen ändern,

3.Koordinate 0 setzen)gebildet. Da ABCD ein Quadrat ist, muss Vektor AD die selbe Länge

wie Vektor AB haben und somit wären die Koordinaten des Vektors AD gleich der

Koordinaten des Normalvektors von AB. Demnach würde ich

D

durch

A +

Vektor AD bekommen.

Jedoch stimmt mein Ergebnis mit dem des Lösungsheftes nicht überein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

prodomo aktiv_icon

10:41 Uhr, 03.11.2012

ℝ^{3}

gibt es keinen eindeutigen Normalenvektor zu einer Geraden/Strecke. Vielmehr existieren unendlich viele zu einer Geraden orthogonale Richtungen. Insofern kannst du keinen Normalenvektor zu AB finden.
Die Länge von AB ist

\sqrt{4^{2} + 7^{2} + 4^{2}} =

9.Für

D

gilt daher entsprechend

{(d_{1} - 1)}^{2} + 16 + {(d_{3} - 3)}^{2} = 81

. Außerdem muss AB orthogonal zu AD sein, also

(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 4 \end{matrix}) \cdot ((d_{1} - 1), (4),

(d_3-3))=0.ö Damit hast du 2 Gleichungen, davon eine quadratische, daher 2 Lösungen (vermutlich mit gegensätzlichen Umlaufsinnen).

anonymous

11:08 Uhr, 04.11.2012

Zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort!

Ich hätte aber gerne noch zwei Fragen bezüglich deiner Lösungswege.

Und zwar

1)

Bei der quadratischen Gleichung:

Als erstes würde ich die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, was die Gleichung:

(d_{1} - 1) + 4 + (d_{3} - 3) = 9

ergibt, wenn ich weiter rechne erhalte ich dann

d_{1} + d_{3} = 9

Wie kann ich dann

d_{1}

bzw.

d_{3}

eindeutig festlegen?

2)

Beim skalaren Produkt, wäre es ja dasselbe?

Sry, wenn die Lösung dieser Gleichungen sehr einfach sind, aber irgendwie blicke ich

gerade nicht durch.

mfg xBl4ckThund3r.

prodomo aktiv_icon

13:12 Uhr, 04.11.2012

Au weia ! Die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der einzelnen Wurzeln ( beliebter Mittelstufenfehler)
Das Skalarprodukt ist definiert als Summe aus den Produkten der Komponenten, die in der gleichen Zeile stehen, also

4 \cdot (d_{1} - 1) + 7 \cdot 4 + 4 \cdot (d_{3} - 3) = 0

. Jetzt kannst du das nach

d_{3}

auflösen und dann in die quadratische Gleichung einsetzen.

prodomo aktiv_icon

13:17 Uhr, 04.11.2012

Kontrolle zur Hilfe:

d_{1} = 2

oder

d_{1} = - 7

anonymous

21:00 Uhr, 04.11.2012

Nochmals vielen Danke für deine hilfreiche Antwort!

Aber ich bekomme immer wieder das falsche Ergebnis, wahrscheinlich habe ich irgendwo

einen Rechenfehler, den ich nicht finden kann

- . -

.

Also zuerst habe ich die Gleichung

4 (d_{1} - 1) + 28 + 4 (d_{3} - 3) = 0

folgendermaßen gelöst:

1.

4 d_{1} - 4 + 28 + 4 d_{3} - 12 = 0

4 d_{1} + 4 d_{3} + 12 = 0

d_{1} + d_{3} + 3 = 0

d_{1} = - d_{3} - 3

Danach habe ich

d_{1}

in die Gleichung

{(d_{1} - 1)}^{2} + 16 + {(d_{3} - 3)}^{2} = 81

eingesetzt:

1 . {((- d_{3} - 3) - 1)}^{2} + 16 + {(d_{3} - 3)}^{2} = 81

{(- d_{3} - 4)}^{2} + 16 + {(d_{3})}^{2} - 6 d_{3} + 9 = 81

{(d_{3})}^{2} - 8 d_{3} + 16 + 16 + {(d_{3})}^{2} - 6 d_{3} + 9 = 81

2 {(d_{3})}^{2} - 14 d_{3} + 41 = 81

2 {(d_{3})}^{2} - 14 d_{3} - 40 = 0

{(d_{3})}^{2} - 7 d_{3} - 20 = 0

7. in die

p

,q-Formel eingesetzt:

d_{3}_1, d_{3}_2 = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

= - (- \frac{7}{2}) \pm \sqrt{{(- \frac{7}{2})}^{2} + 20}

= \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{49}{4} + \frac{80}{4})}

= \frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{129}{4}}

Da die Wurzel aus

129

keine ganze Zahl ergibt, kann das ganze irgendwie nicht stimmen.

Vielen Dank im Vorraus
mfg xBl4ckThund3r

BeeGee aktiv_icon

09:52 Uhr, 05.11.2012

Hallo!

Du hast das erste Binom falsch ausmultipliziert. Deine Zeile 3 müsste lauten:

d_{3}^{2} +

(nicht minus!)

8 d_{3} + 16 + 16 + d_{3}^{2} - 6 d_{3} + 9 = 81

Zusammengefasst:

d_{3}^{2} + d_{3} - 20 = 0

Das geht dann schön auf:

d_{3} = 4

oder

d_{3} = - 5

sm1kb aktiv_icon

14:06 Uhr, 24.03.2015

Hallo,
schau mal hier:
www.gutefrage.net/frage/hilfe-mathe-vektoren-dringend?foundIn=answer-listing#answer-155970777
Gruß von sm1kb

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