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Vektor bestimmen; R3 Basis

Lehrer

Tags: basis, R3, Vektor

 
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antifx

antifx aktiv_icon

20:45 Uhr, 28.01.2013

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Hallo,

ich rechne gerade eine Probeklausur zu Mathematik für Elektrotechnik und habe Schwierigkeiten bei folgendem Beispiel:

Gegeben seien die Vektoren v1(1,2,-1)tv2(-1,3,5)t

a) finden sie einen Vektor v3 aus R3, sodass (v1,v2,v3) eine Basis für R3 bilden.

Meine Frage: Wie sieht das LGS (Matrix) + Lösung aus?

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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McMannus

McMannus aktiv_icon

00:25 Uhr, 29.01.2013

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Nun, eine Basis des ℝ3 muss jeden Vektor in ℝ3 als Linearkombination der Basisvektoren darstellen können. Umgekehrt müssen alle Basisvektoren paarweise orthogonal zueinander sein, damit das funktioniert. Da du schon 2 Vektoren gegeben hast, prüfst du erstmal, ob diese beiden orthogonal zueinander sind. Ist dem so, ist ihr Skalarprodukt gleich Null.
(12-1)⋅(-135)=1⋅(-1)+2⋅3+(-1)⋅5=0

Haben wir das schon einmal erledigt. Jetzt musst du noch einen dritten Vektor finden, der zu den beiden gegebenen orthogonal ist. Den liefert uns jetzt das Kreuzprodukt zweier Vektoren.

v3=(12-1)X(-135)=(13-45)

v1,v2,v3 sind nun einen Orthogonal-Basis von ℝ3,d.h. sie sind noch nicht normiert. Normierst du die 3 Vektoren, erhältst du eine Orthonormalbasis.
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