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Vektor bestimmen, der senkrecht auf 2 vektoren ist

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektor, Vektorraum

world10 aktiv_icon

01:03 Uhr, 16.12.2016

HALLO,
ich hab eine Frage. Also ich hab 2 Vektoren gegeben:

u : (\begin{matrix} - 3 \\ - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

und

v : (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix})

.
Jetzt soll ich einen Vektor

w

bestimmen, der senkrecht auf den Vektoren

u

und

v

steht. Dabei soll

w \in ℝ^{4}

ohne \

{

0} sein, der Nullvektor ist nicht erlaubt.
Damit die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt von

w

und jeweils den Vektoren

u

und

v

gleich 0 sein.->

w \cdot v = 0

und

w \cdot u = 0

. Erstmals habe ich versucht mit dem Kreuzprodukt den Vektor

w

herauszubekommen, was aber leider nicht funktioniert hat. Gibt es eine andere Möglichkeit außer probieren an die Lösung zu kommen?
Mit freundlichen Grüßen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

HilbertRaum aktiv_icon

08:47 Uhr, 16.12.2016

Das Kreuzprodukt ist ja eine Abbildung

V x V \to V

.
I.A. existiert ausser der Addition keine weitere Verknüpfung in allg. VR, also auch im

ℝ^{4}

. Das Kreuzprodukt ist eine Besonderheit im

ℝ^{3}

(die erklärbar ist).

Du kannst also mit dem Skalarprodukt weitermachen.

Respon

10:18 Uhr, 16.12.2016

Auch in

ℝ^{n}

ist das Kreuzprodukt definiert als Vektor, der auf

(n - 1)

Vektoren aus

ℝ^{n}

normal steht.
siehe Definition : de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Kreuzprodukt_im_Rn
Um nun für deine Angabe den gesuchten Vektor schnell berechnen zu können, ergänze mit einem beliebigen Vektor aus

ℝ^{4}, z . B

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Das Kreuzprodukt für diese drei Vektoren ist dann

| (\begin{matrix} \vec{e_{1}} & - 3 & 0 & 1 \\ \vec{e_{2}} & - 1 & 2 & 1 \\ \vec{e_{3}} & 2 & - 4 & 1 \\ \vec{e_{4}} & 0 & 3 & 1 \end{matrix}) |

Dabei sind

\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}

und

\vec{e_{4}}

die Einheitsvektoren von

ℝ^{4}

Die Berechnung der Determinante ergibt dann

(\begin{matrix} 9 \\ - 27 \\ 0 \\ 18 \end{matrix}),

vereinfacht zu

(\begin{matrix} 3 \\ - 9 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Überprüfe nun mit dem Skalarprodukt.

michaL aktiv_icon

10:28 Uhr, 16.12.2016

Hallo,

und um es nun noch genauer zu nehmen: Irgendein Vektor geht nicht, er muss schon linear unabhängig sein. Das ist zwar keine allzu große Einschränkung, aber immerhin.

Bis man das geregelt hat, ist man vermutlich mit Probieren (Skalarprodukt) schneller.

Mfg Michael

Respon

10:34 Uhr, 16.12.2016

Vollkommen richtig, da war ich etwas ungenau.
Ja, mit zweimaligen Skalarprodukt, LGS usw. kommt man auch ans Ziel.

HilbertRaum aktiv_icon

13:08 Uhr, 16.12.2016

@Respon: "Auch in ℝn ist das Kreuzprodukt definiert als Vektor, der auf (n−1) Vektoren aus ℝn normal steht."

Sorry, aber das ist nicht ganz korrekt.
Ich hatte geschrieben, dass das Vektorprodukt definiert ist als Abb.
VxV→V, wobei

V = ℝ^{3}

gilt.
Und da gibt es KEINE Verallg. in höherdim. Räume, also etwa

ℝ^{4} x ℝ^{4} \to ℝ^{4}

Du sprichst vom verallg. Vektorprodukt, was aber eine multilin. Abb. ist:

V x . . . x V \to V

und dim V = n, kart. Produkt über n-1 VR.

Respon

13:13 Uhr, 16.12.2016

Und schon wieder muss ich mich der Ungenauigkeit zeihen.
Ich habe diesen Satz bei "Wiki" so interpretiert:
"Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension

n \geq 2

auf den

ℝ^{n}

" verallgemeinern."

world10 aktiv_icon

16:07 Uhr, 16.12.2016

Super Danke. Ich hab es jetzt verstanden.

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