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Vektor finden, der orthogonal zu anderen ist

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

student11 aktiv_icon

16:51 Uhr, 15.02.2012

Hallo zusammen

Wenn man die beiden Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ i \\ - i \end{matrix})

hat und einen zu diesen Vektoren senkrechten Vektor sucht, dann müsste man doch folgendes Gleichungssystem lösen.

x + i \cdot y = 0

i \cdot y - i \cdot z = 0

Da man bereits Zeilenstufenform hat, kann man direkt

z

frei wählen und dann die anderen bestimmen. Wenn

z = 1

ist, dann ist auch

y = 1,

denn

i - i = 0

.
Dann muss aber

x = - i

sein, damit

- i + i = 0

.
Also wäre meine Lösung

(\begin{matrix} - i \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und alle reellen Vielfachen davon.

Die Lösung liefern jedoch:

(\begin{matrix} i \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und ein Vielfaches davon.. Auch wenn ich in den Taschenrechner das Skalarprodukt meiner Lösung mit den gegebenen Vektoren eingebe, erhalte ich nicht null, rechne ich im Kopf, dann schon.. ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Rabanus aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.02.2012

(\begin{matrix} i \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

ist falsch und

(\begin{matrix} - i \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

ist richtig !

student11 aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.02.2012

ich habe einen voyage200-taschenrechner..

gebe ich dort dotp(

[

-i;1;1],[1;i;0]) ein erhalte ich

- 2 i

. Nur mit dotp(

[

i;1;1],[1;i;0]) erhalte ich 0. Doch das Skalarprodukt berechnet sich ja eigentlich komponentenweise?

x \cdot y = x^{T} y .

.

Was mache ich falsch? Wo liegt mein Überlegungsfehler? (ich glaube kaum, dass der Fehler beim Taschenrechner liegt...?) Kann es sein, dass der nicht "richtig" mit komplexen Zahlen rechnen kann, wenn man das normale Skalarprodukt berechnen lässt?

nieaufgeber aktiv_icon

19:34 Uhr, 15.02.2012

Edit

Ich habe es mit meinem TI-Nspire versucht, das selbe Problem! hmm komisch!

student11 aktiv_icon

19:43 Uhr, 15.02.2012

Achso.. ich sollte daran denken, dass das Skalarprodukt bei komplexen Zahlen definiert ist durch

x^{H} \cdot y,

also bei dem Beispiel:

1 \cdot x - i \cdot y = 0

- i \cdot y + i \cdot z = 0

Daraus folgt, dass wenn

z

frei ist,

y = z

ist und dann

x = i \cdot z,

also dann

(\begin{matrix} i \\ 1 \\ 1 \end{matrix}),

wie in der Lösung steht..

Dann hat jedoch Rabanus einen Fehler gemacht?

student11 aktiv_icon

19:44 Uhr, 15.02.2012

Das Skalarprodukt für Vektoren über den komplexen Zahlen ist somit definiert als:

x \cdot y = x^{H} y,

wobei

x^{H}

die komplex transponierte Matrix zu

x

ist..

Korrekt

s

nieaufgeber aktiv_icon

19:49 Uhr, 15.02.2012

Also es ist eine Frage der Definition:

http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=61073&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Ddefinition%2520skalarprodukt%2520bei%2520komplexen%2520zahlen%26source%3Dweb%26cd%3D4%26ved%3D0CD8QFjAD

student11 aktiv_icon

20:18 Uhr, 15.02.2012

Ok.. Aber ich glaube, wir hatten es so definiert, ich habe es nur vergessen.. Sonst wäre es ja nicht positiv definit, oder?

Vielen Dank für die Hilfe..

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