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Vektor=Matrix*unbekannter Vektor. Gleichungslösung

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Tags: Matrizenrechnung, Modell, Petrinetze, Skalarprodukt, Vektorraum

Chris2323 aktiv_icon

19:59 Uhr, 20.03.2013

Hallo,
ich suche eine Lösung zu der im Anhang angefügten Rechnungslösung. Und zwar weiss ich nicht wie man von dem ersten Schritt im roten Bereich zu dem zweiten und somit dem Vektor

w

kommt. Ich würde mich freuen wenn mir jemand ein paar Ansätze und Lösungsvorschläge geben könnte.. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

vince0 aktiv_icon

20:25 Uhr, 20.03.2013

Man kann die Matrix auch ausrechnen dann hat man:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix} \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - w_{1} - w_{2} \\ w_{1} - 3 w_{5} \end{matrix} \\ {4 w}_{2} - {4 w}_{3} \end{matrix} \\ - {2 w}_{2} + w_{3} \end{matrix})$

Es wird aber im allgemeinen nicht so umgeschrieben sondern in dem gleichungssystem gelassen wie es dort steht. Der Trennstrich stell das gleichzeichen dar. Wenn du dann die Umformung durchführst, solltetst du auf das ergebnis kommen welches dort angegeben ist.

Chris2323 aktiv_icon

13:20 Uhr, 21.03.2013

Ich verstehe leider nicht ganz wie man dann auf die einzelnen Werte des Vektors

w

kommt bzw wie man das Gleichungssystem löst und auch nicht wie man auf die zweite Matrix äquivalente Matrix kommt

' : - (

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

vince0 aktiv_icon

13:32 Uhr, 21.03.2013

Dann schau dir mal das Gaussche Eliminationsverfahren an, das wird hier angewendet.

http//de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

$- 1 = - w_{1} - w_{2}$

$0 = w_{1} - 3 w_{5}$

$0 = {4 w}_{2} - 4 w_{3}$

$- 1 = {- 2 w}_{2} + w_{3}$

wenn du dieses gleichungssystem löst erhälst du deine lösungen für w

Chris2323 aktiv_icon

16:22 Uhr, 21.03.2013

Also ich hab mich mal schlau gemacht wie es mit dem Gaußalgorithmus zu lösen wäre aber ich blick immer noch nicht ganz durch.

(\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & = - 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & - 3 & = 0 \\ 0 & 4 & - 4 & 0 & 0 & = 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & = - 1 \end{matrix})

Dann III+=IV*2 und
II+=I

(\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & = - 1 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & - 3 & = - 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 & 0 & = - 2 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & = - 1 \end{matrix})

Ab da weiß ich leider nicht mehr weiter

: (

Chris2323 aktiv_icon

17:11 Uhr, 21.03.2013

So noch ein Versuch:

(\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & = - 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & - 3 & = 0 \\ 0 & 4 & - 4 & 0 & 0 & = 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & = - 1 \end{matrix})

nach III+(2*IV) und
IV+ (-1*III)

\Leftrightarrow (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & = - 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & - 3 & = 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & = - 1 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 & 0 & = 0 \end{matrix})

Kann man dann in der 4. Zeile einfach

0,1,0,0,0 = 0

schreiben da

w 2

ja eh 0 ist?
Weil dann würde ich I+(-1*IV) rechnen und dann II+I.

Dann würde aber folgende Matrix rauskommen die der Musterlösung zwar schon änlicher ist(die ich oben angefügt habe),
aber immer noch nicht richtig.. Wo liegt mein Denkfehler? Kann man die Zeilen eigentlich hin und her schieben wie man mag?

\Leftrightarrow (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & = - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 3 & = - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & = - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & = 0 \end{matrix})

vince0 aktiv_icon

18:29 Uhr, 21.03.2013

Man schreibt statt dem gleich diesen Trennstrich:

Also:

Erster Schritt:

3te Zeile durch 4 teilen und danach die dritte zeile mit der 4ten addieren.

Dann die 4te Zeile multiplizieren mit -1

$(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 1 & - 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & - 3 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} & - 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \end{matrix} | \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$

Zweiter schritt:

3te - 4te zeile, 3te zeile multiplizieren mit -1. 1te + 4te und hier auch wieder die erste mal -1. jetzt die 2te zeile - die erste und danach durch -3 teilen.

$(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \end{matrix} | \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$

Jetzt kannst du die matrix noch in zeilenstufenform umschreiben

$(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} \end{matrix} | \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

jetzt fehlt nur noch w4 da diese nicht im gleichungssystem vorhanden ist kannst du diese mit einer beliebigen variablen $χ$ wählen

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