Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vektoraufgabe Tetraeder

Vektoraufgabe Tetraeder

Universität / Fachhochschule

Tags: Vektorrechnung

Nikki086 aktiv_icon

00:52 Uhr, 28.01.2013

Hallo,

ich bräuchte eure Hilfe bei ddieser Aufgabe.

Gegeben sind 4 Punkte eines Tetraeder:

P0 (0/0/0)
P1 (0/0/5k)
P2 (12k/16k/0)
P3 (12k/-16k/0)

Es soll ausgerechnet werden:
a) Volumen des Tetraeders
b) der Winkel der die Kanten P1P2 und P1P3 einschließt
c) der Winkel der die Seitenflächen POP1P2 und P1P2P3 einschließt
d) der Abstand der Kante P1P2 zum Ursprung und den zugehörigen Abstandspunkt

Habe die Aufgaben gerechnet, leider habe ich keine Ergebnisse mit denen ich es abgleichen könnte.

Könntet Ihr schauen, ob meine Werte richtig sind?

a)

- 320 k^{3} E i n h e i t e n

101, 81 °

107, 92 °

4, 85 k L E

Noch eine Frage, wie berechne ich bei den den zugehörigen Abstandspunkt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

BeeGee aktiv_icon

08:58 Uhr, 28.01.2013

Hallo!

Zunächst: ist

k

näher angegeben

(z

. B.

k \in ℝ^{+})

?

Fangen wir mal mit

a)

an:

Mit Deinem Ergebnis bin ich nicht einverstanden. Um darauf genauer eingehen zu können, solltest Du Deinen Lösungsweg kurz mal hinschreiben.

Nikki086 aktiv_icon

11:29 Uhr, 28.01.2013

Hi,

für

k

sind keine näheren Angaben gemacht, außer das

k

für Aufgabe

d

17 L E

beträgt.

zu a)

Habe die drei Verbindungsvektoren gebildet:

P 0 P 1 = V e k t o r a

0
0
5k

P O P 2 = V e k t o r b

12k
16k
0

P 0 P 3 = V e k t o r c

12k
-16k
0

Nun das Spatprodukt von ![a,b,c]! gebildet, nach der Regel von Sarrus
ergibt:

- 960 k^{3} - 960 k^{3}

=! - 1920 k^{3}!

Davon nun

1 / 6

wären 320k^3...

Sorry für die Schreibweise
!= Betragsstriche

BeeGee aktiv_icon

11:32 Uhr, 28.01.2013

Schau mal

P_{3}

in Deiner Angabe an - was stimmt denn jetzt?

BeeGee aktiv_icon

11:42 Uhr, 28.01.2013

Wenn wir mal davon ausgehen, dass

P_{3} (12 k | - 16 k | 0)

ist, dann stimmt

V = | 320 k^{3} |

Nikki086 aktiv_icon

11:44 Uhr, 28.01.2013

Habe ich auch eben erst gemerkt :-/
Hatte mmich gestern abend leider vertippt

P3 (12k/-16k/0)

Sind die anderen auch richtig?

BeeGee aktiv_icon

11:54 Uhr, 28.01.2013

Konfusion?!

Hat

P_{3}

jetzt den Faktor

k

drin oder nicht??? Inzwischen haben wir drei unterschiedliche Versionen von

P_{3}

. Wäre ganz freundlich, wenn Du die Angabe _sorgfältig_ abschreiben würdest - das sollte doch möglich sein ;-).

BeeGee aktiv_icon

12:15 Uhr, 28.01.2013

Unter der Annahme, dass

P_{3} = (12 k | - 16 k | 0)

ist, habe ich bei:

b) α =

101,81°

c) β =

72,08°

(cos β = \frac{4}{13})

und

d) d = \frac{20}{17} \cdot \sqrt{17} \cdot k \approx 4,85 k

Nikki086 aktiv_icon

12:27 Uhr, 28.01.2013

Ohh jeee,
meine Konzentration geht den Bach runter :-)

Habs verbessert. Faktor k ist enthalten.

Bei c) habe ich jedoch einen anderen Winkel raus..es handelt sich doch um einen Winkel zwischen zwei Ebenen, oder etwa nicht?

Habe mir zweit Ebenen aufgestellt, deren Normalvektoren über das Kreuzprodukt voon deren Richtungsvektoren gebildet und anschließend...

W i n k e l = \frac{n 1 * n 2}{! n 1! *! n 2!}

kommt bei mir 107,92°

Merke gerade das dein Winkel und mein Winkel =180° sind...

Wahrscheinlich, weil ich

\frac{- 4}{13}

als cos Winkel hab

BeeGee aktiv_icon

12:32 Uhr, 28.01.2013

Schreib bitte mal Deine Normalenvektoren hin...

Nikki086 aktiv_icon

12:39 Uhr, 28.01.2013

n1=

- 160 k^{2}

0

- 384 k^{2}

gekürzt (/-16) auf

n1=

10 k^{2}

0

24 k^{2}

und
n2=

- 80 k^{2}

60 k^{2}

0

gekürzt (/2) auf

- 40 k^{2}

30 k^{2}

0

glaube habe den Fehler....
bestimmt weil ich bei durch eine negative Zahl geteilt habe und bei n2 durch eine positive, oder?

Wie errechne ich bei d) den zugehörigen Abstandspunkt A1?

BeeGee aktiv_icon

12:57 Uhr, 28.01.2013

Das ist kein richtiger Fehler, Du hast ja schon richtig erkannt, dass beide sich zu 180° ergänzen. Allgemein nimmt man als Winkel zwischen zwei Ebenen den kleineren von beiden, der zwischen 0 und 90° liegt.

Wie hast Du bei

d)

den Abstand errechnet? Wenn Du eine Gerade durch

P_{1}

und

P_{2}

aufstellst und damit den auf ihr senkrecht stehenden Abstandsvektor

\vec{O F}

bestimmst, hast Du ja quasi automatisch auch den Fußpunkt F.

EDIT: (Mein Ergebnis:

F (\frac{12}{17} k | \frac{16}{17} k | \frac{80}{17} k)

Nikki086 aktiv_icon

13:09 Uhr, 28.01.2013

Genau, habe eine Gerade durch P1P2 aufgestellt

Richtungsvektor

a

dieser Geraden
12k
16k
-5k

Muss ich nun einen Vektor b finden damit gilt a*b=0?

BeeGee aktiv_icon

13:15 Uhr, 28.01.2013

Du kannst auch noch das

k

aus dem Richtungsvektor rausnehmen:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 k \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ - 5 \end{matrix})

Wenn der Lotfußpunkt

F

auf der Geraden "entlangläuft", so hat der Vektor

\vec{O F}

folgendes Aussehen:

\vec{O F} = (\begin{matrix} 12 s \\ 16 s \\ 5 k - 5 s \end{matrix})

Dieser Vektor muss ja nun senkrecht auf dem Richtungsvektor stehen

\to

Skalarprodukt

= 0 \to

daraus ist

s

bestimmbar

Nikki086 aktiv_icon

13:29 Uhr, 28.01.2013

Irgendwie steh ich total auf dem Schlauch:

kann ich es auch so sehen, das der Fußpunkt, Element der Gerade P1P2 sein muss?

Somit
f1= 0+12s
f2= 0+16s
f3= 5k-5s

BeeGee aktiv_icon

13:57 Uhr, 28.01.2013

Korrekt! Und dieses

s = \frac{1}{17} k

setzt Du nun in die Geradengleichung ein. Damit bekommst Du den Vektor

\vec{O F}

. Ich hatte oben ein falsches Ergebnis hierfür, wird gleich nochmal editiert.

\vec{O F} = \frac{k}{17} \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 16 \\ 80 \end{matrix})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1069257

1069187

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?