Vektoraufgaben

Hallo,

zu deiner zweiten Frage:

Berechne zunächst die Eigenwerte, also löse ${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 5\\ 5& 7-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right]=0}$.

Du erhältst dann ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{109}}{2}}$.

Setze nacheinander beide ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in die Gleichung ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 5\\ 5& 7-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$ ein und berechne daraus Eigenvektoren z.B.

${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\left(\begin{array}{c}5\\ \frac{3+\sqrt{109}}{2}\end{array}\right)}$ und ${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\left(\begin{array}{c}5\\ \frac{3-\sqrt{109}}{2}\end{array}\right)}$.

Die Transformationsmatrix S ist dann entweder ${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=({\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2)}$ oder ${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=({\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1)}$.

Wähle diejenige mit positiver Determinante, damit die Orientierung erhalten bleibt - das sollte die zweite Variante sein.

Dann ist ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\cdot \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}\frac{3-\sqrt{109}}{2}& 0\\ 0& \frac{3+\sqrt{109}}{2}\end{array}\right)}$.

Grüße

Stephan

Das ist aber eine andere Hauptachsentransformation ;-)

Schau in den Anhang, wenn was unklar ist, frag noch einmal nach.

Zur anderen Frage: stelle die Geradengleichung g durch die Punkte Zund P auf.

Stelle die beiden Ebenengleichungen E und F auf.

Schneide g mit E, indem Du die Gerade g in E einsetzt und den Parameter r bestimmst.

Den Parameter setzt Du wieder in g ein und erhältst P'.

Wiederhole das mit g und F und erhalte P''.

BjBot hatte Dir das aber schon schön erklärt.

Schau mal für den Lichtstrahl den Anhang an.

Ergänzend noch mal zu den Ebenen: Für eine Ebene, die durch zwei Koordinatenachsen gegeben ist, ist die dritte Koordinate 0.

Also x,y Ebene z=0, x,z Ebene y=0 und y,z Ebene x=0.

Diese Gleichungen sind in Hesseform.

Daher hat eine Ebene im Abstand a zur x,y Ebene die Gleichung z=a oder z=-a - es gibt schließlich zwei davon (eine darüber und eine darunter)

Jetzt zum Eigenwertproblem: b=0, wenn a=0 ist (habe ich etwas schlampig geschrieben)

Man erhielte also als Ergebnis den Nullvektor, aber der ist als Eigenwektor ausdrücklich ausgeschlossen.

Man könnte das Notieren der beiden Vektoren natürlich auch weglassen, aber fürs Gesamtbild finde ich, gehören sie hingeschrieben. Denn ihre Existenz (oder auch Nichtexistenz) ist das wichtigste für die Hauptachsentransformation an sich.

Vielleicht klären wir mal grundsätzlich, was Du da machst.

Zu einer Abbildung zwischen zwei Vektorräumen gehört eine Matrix. Die Zahlen in der Matrix hängen jedoch von den Basen ab, die Du in den Vektorräumen gewählt hast. Wenn Du an der Basis etwas veränderst, dann ändern sich die Zahlen in der Matrix.

Man kann nun fragen, ob es eine Basis gibt, in der die Matrix besonders einfach ist, z.B. eine Diagonalmatrix.

Die Antwort darauf lautet vielleicht. Wenn Deine 2x2 Matrix zwei verschiedene Eigenwerte hat (3 bei einer 3x3 Matrix), dann gibt es eine solche Basis, gebildet aus den Eigenvektoren.

Also: wenn Du als Basis die Eigenvektoren wählst, dann hat Deine Matrix außerhalb der Diagonalen Nullen und in der Diagonalen stehen gerade die Eigenwerte.

Die Matrix S, gebildet aus den Eigenvektoren ist die zugehörige Basistransformationsmatrix und S^-1 ist die Rücktransformation.

Daher ist S^-1*A*S das gesuchte D, bestehend aus den Eigenwerten in der Diagonalen und sonst Nullen. Die zugehörige Theorie sagt das so und deswegen ist das so und deswegen muss man nichts mehr rechnen, sondern nur noch die bereits berechneten Eigenwerte in die Diagonale schreiben. (wäre eine Menge Arbeit, erst S^-1 bestimmen, dann die Multiplikationen, aber einmal im Leben kann man so etwas ja machen)

Zusammenfassend ergibt sich folgendes Rechenschema:

Bestimme die Eigenwerte aus der Bedingung ${\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$. Also in der Diagonalen ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ abziehen und Determinate null setzen. Das ergibt (hoffentlich) ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\ne {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$.

Finde zu jedem ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ einen Vektor ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, so dass ${\displaystyle (\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}}$ gilt. (Das sind diese Gleichungssysteme in der Lösung.)

Eigenvektoren sind nicht eindeutig, deshalb muss man eine Koordinate frei wählen. Dabei muss man nur aufpassen, dass am Ende nicht der Nullvektor herauskommt. Der wäre kein guter Basisvektor ;-) (Darum nicht a=0 wählen)

Danach schreibst Du die erhaltenen Vektoren als Matrix S nebeneinander und in D schreibst Du die Eigenwerte in derselben Reihenfolge.

In Deiner Aufgabe soll die Orientierung der Basisvektoren erhalten bleiben. Eine orientierungserhaltende Basistransformation hat positive Determinante (eine orientierungsumkehrende hat negative Determinante).

Rechne also det(S) aus. Wenn das Ergebnis >0 ist, dann ist alles gut. Wenn das Ergebnis <0 ist, dann vertausche zwei Vektoren (Spalten) von S, vergiss dann aber nicht, auch in D die Reihenfolge der Eigenwerte in der Diagonalen mitzuändern.

Wenn immer noch etwas unklar ist: nachfragen ;-)

Wie sehen Punkte auf einer Achse aus?

x-Achse: z.B. (1,0,0) oder (5,0,0) allgemein ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0& 0\end{array}\right)}$

y-Achse: z.B. (0,1,0) oder (0,7,0) allgemein ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0& \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0\end{array}\right)}$

Die x-y-Ebene wird aufgespannt von diesen beiden allgemeinen Vektoren, also ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)}$

Das kannst Du jetzt in die Koordinatenform umwandeln, aber man sieht auch so z=0.

Merke: auf eine Achse sind die anderen beiden Koordinaten null.

Auf einer Ebene ist die verbleibende dritte Koordinate null.

Die Aufgabenstellung verlangt die Ebenen, die im Abstand 3 parallel dazu liegen. D. h. eine drei Einheiten oberhalb und die andere drei Einheiten unterhalb, also müssen wir in z-Richtung verschieben, weil die z-Achse gerade senkrecht zur x-y-Ebene steht.

Wir verschieben also die x-y-Ebene erstmal drei Einheiten nach oben also um ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)}$:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\end{array}\right)}$ oder kurz z=3.

Dann verschieben wir die x-y-Ebene um 3 Einheiten nach unten, also um ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)}$:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ -3\end{array}\right)}$ oder kurz z=-3.

Natürlich haben diese beiden Ebenen den Abstand 6, aber das spielt keine Rolle. Nach der Aufgabenstellung wird ausgehend von der x-y-Ebene in Richtung z-Achse parallel verschoben.