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Vektoren

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Vektor

Luna98 aktiv_icon

14:16 Uhr, 02.01.2014

Hallo, habe hier ein paar Aufgaben, bei denen ich noch Hilfe benötige um die Aufgaben richtig zu verstehen:

Warum wird das Minus vor dem Richtungsvektor ausgeklammert? Wäre es falsch wenn man es nicht ausklammert?
Bsp:

A (- 3 | 9 | 2) B (- 4 | 1 | - 5)

AB=u=(-1|-8|-7)

u = - (1 | 8 | 7)

x = (- 3 | 9 | 2) + r (1 | 8 | 7)

oder geht auch

x = (- 3 | 9 | 2) + r (- 1 | - 8 | - 7)

?

Bild 1: verstehe nicht warum es CB-MB=CM heißt und nicht CB+BM=CM??

Bild

2 : r = s = 0,5

muss

r = s

immer denselben Wert haben oder könnte es auch zum Beispiel

r = 1 s = 0,5

heißen, dass sie trotzdem denselben Schnittpunkt haben ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Respon

14:27 Uhr, 02.01.2014

- MB

= - (B - M) = - B + M = M - B

= M - B

Luna98 aktiv_icon

14:32 Uhr, 02.01.2014

Und bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht wie man bei

c)

vorgehen muss.
Muss man da Punkte aus der Zeichnung ablesen und die dann als Richtingsfaktor einsetzen oder kann ich es auch so machen:
Bsp.:

P (0 | 0 | 2)

(0 | 2 | 0) = (- 2 | 1 | 1) + 1 (x | y | z)

x = 2

y = 1

z = 0

X = (- 2 | 1 | 1) + 1 (2 | 1 | 0)

?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe :-)

prodomo aktiv_icon

09:24 Uhr, 03.01.2014

Aus einem Schrägbild darfst du niemals Punkte ablesen. Die Koordinaten werden ja verzerrt dargestellt.
Bei

c)

hast du einen Aufpunkt, weil die Geraden durch

S

verlaufen sollen. Damit sie von

g

und

h

verschieden sind, müssen sie nicht kollineare Richtungsvektoren haben. Das erreicht man am einfachsten, indem man bei den alten Richtungsvektoren eine Komponente ändert, also

z . B

. bei

g

statt

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

jetzt

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})

. Nur aufpassen, dass du dabei nicht versehentlich einen zu

h

kollinearen Richtungsvektor "konstruierst".

Luna98 aktiv_icon

11:00 Uhr, 03.01.2014

Das heißt ich kann einfach verschiedene Zahlen nehmen und die in den Richtungsvektor einsetzen? Bsp.

(4 | 1 | 2)

prodomo aktiv_icon

11:05 Uhr, 03.01.2014

Wenn du weißt, was "kollinear" bedeutet, und darauf achtest, ja. Die neue Gerade kann von

S

aus in alle möglichen Richtungen zeigen, eben nur nicht in die von

g

oder

h

Luna98 aktiv_icon

11:17 Uhr, 03.01.2014

Ja ok, das habe ich jetzt verstanden. Danke schonmal :-)

Zu meinen Fragen oben nochmal:
Das Ausklammern des Richtungsvektor kann man, muss man aber nicht oder?

Zu Bild 1: also -MB=BM, das heißt es ist egal wie ich es schreibe oder?

Bild 2 ist es doch nur wichtig, dass sie kollinear liegen, egal ob r=0,5 und s=1?

prodomo aktiv_icon

11:30 Uhr, 03.01.2014

Ein Minuszeichen bzw. den Faktor

- 1

aus einem Richtungsvektor auszuklammern, ist völlig egal. Hattest du

z . B

. für einen Punkt auf einer Geraden vorher

r = 2

und klammerst ein Minuszeichen aus, dann bekommst du den gleichen Punkt jetzt für

r = - 2

. Kollinear heißt eben nur "gleichgerichtet oder entgegengerichtet". Physiker nennen das oft parallel oder antiparallel.

Luna98 aktiv_icon

11:38 Uhr, 03.01.2014

Also, ist es bei Bild 2 egal, hauptsache kollinear?

Und zu Bild 1: -MB=BM, das heißt es ist egal wie ich es schreibe oder?

aleph-math aktiv_icon

19:22 Uhr, 03.01.2014

Ich darf zusammenfassen..

a) Vorzeichen. Ausklammern ist zwar nicht nötig, aber vorteilhaft, denn es ist sicher einfacher & auch übersichtl., 1 Minus anstatt 3 zu schreiben. Man kann d. Minus auch überhpt. weglassen, dann ist d. Richtg.vektor umgekehrt u. d. Parameter r negativ im Vgl. zum vorgegeb. Fall:

\vec{u} ʹ = - \vec{u} & r ʹ = - r

.

b) Mittelpkt. Wie gezeigt, gilt:

\vec{B M} = - \vec{M B}

. Man kann also mit beiden Ausdrücken rechnen u. kommt (hoff. ;-) auf dasgl. Ergebnis, d. neg. Vorz. ist m.M. jedoch günstiger, weil dann d. Teilausdruck

\vec{A M} - \vec{M B} = 0

per Def. (M Mittelpkt.!) unmittelbar einsichtig ist (sein sollte).

c) Parameter 0,5. Prinzip. sind r & s unabh., desh. haben sie auch verschied. Namen. Mit d. gegeb. Defin. von M ergibt sich hier (wg. d. Symmetrie d. Vierecks) d. selbe Wert r=0.5=s. M ist d. einzige Schnittpkt d. Diagonalen, desh. ist r=s=0.5 d. einzige Lösung, sonst läge M nur auf 1 Geraden, nicht auf beiden.

d) Geraden durch S. g & h schneiden sich (in S), sind also per Def. nicht kollinear. Sie sind auch nicht orthogonal (zueinander rechtw.; Probe: Skalarprod. nicht null). Das belieb. Ändern einzelner Kompon. (vgl. "prodomo") ist zwar nicht falsch, aber m.M. unbefriedigend (manchm. ist es nötig, aber i.allg. sollte man rechnen statt probieren).
Exakt u. doch einfach zu berechnen sind dagegen orthogon. Vektoren.
Mit d. Richt.vektoren

\vec{u_{g}} = (2, 0, - 1)

\vec{u_{h}} = (2, - 1, 1)

sowie d. Normalen

\vec{v_{g}}

bzw.

\vec{v_{h}}

ergibt sich dann:

\vec{v_{g}} \circ (2, 0, - 1) = 0 \Rightarrow 2 v_{1} - v_{3} = 0 \Rightarrow \vec{v_{g}} = (1, 0, 2)

(eine Lös. von vielen) u. analog:

\vec{v_{h}} \circ (2, - 1, 1) = 0 \Rightarrow 2 v_{1} - v_{2} + v_{3} = 0 \Rightarrow \vec{v_{h}} = (1, 0, - 2)

(ebenf. eine Lös. von vielen).
Das sind dann d. Richt.vektoren d. zusätzl. Geraden.

e) Kollinear (Bild 2). Da scheint ein Mißverst. zu herrschen. Sowohl d. Seitenvekt. wie auch d. Diagon. dürfen gerade NICHT kollinear mit-/zueinand. sein, wohl aber verschied. Richt.vekt. einer Diagon. Man könnte einen (kollin.) Richtvektor verwenden, dann ändert sich das r bzw s, aber d. Angaben sind nun mal wie sie sind. Eigenmächt. Änderg. werden d. Prof. nicht gefallen.
Prinzip. sind 2 Vekt. "kollinear", wenn gilt:

\vec{b} = t \cdot \vec{a}, t \in ℝ

.
Mit n=Dimens. d. Vektorraums gilt ferner: mehr als n Vekt. sind zwingend linear abhängig (kollinear), weil jeder Vektor (=Element d. Vektorraums) durch n (lin. unabh.) Vektoren (sog. Basis) dargestellt werden kann.

Ich hoffe, ich hab nichts vergessen, ggf. genügt eine kl. Erinnerung.
Weiter viel Vergnügen!

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