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Vektoren Geometrie Gymn. Klasse 12

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Geometrie, Vektor, Vektorgeometrie, Vektorrechnung

aventuriny aktiv_icon

14:30 Uhr, 28.10.2013

Hallo ich bereite mich gerade für eine Klausur vor und komme bei einer Sachaufgabe nicht weiter, die wir vor langer Zeit mal im Unterricht besprochen haben. Die Aufgabe lautet:
Tischlerlehrling Thomas bekommt sein erstes Projekt. Er soll für die Dachflächen des pyramideförmigen Daches eines Kletterturms neue Holzplatten anfertigen. Für seine Berechnungen hat er folgende Daten gegeben: A(2\1\3,5) B(2\2\3,5), C(1\2\3,5) und D(1\1\3,5). Der Turm mit quadratischer Grundfläche ist ohne Fahne

4,25 m

hoch. (Ich habe die Abbildung vom Kletterturm beigefügt)
Nun sollten wir die Grundfläche dieser Holzplatten berechnen. Die Holzplatten sind dreieckig. Deswegen brauchen wir die Formel

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

für die Grundflächenberechnung.

Zunächst haben wir die Spitze des Turmes bestimmt mit dem Punkt

E

(1,5\1,5\4,25). Ich verstehe nicht wie man rechnerich auf diesen Punkt kommen soll.

Dann haben wir den Vektor AB bestimmt

B - A = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge vom Vektor AB ist

1 m

. Dann haben wir den Vektor AE bestmmt

E - A = (\begin{matrix} - 0,5 \\ 0,5 \\ 0,75 \end{matrix})

. Die Länge von AE beträgt

1,03 m

. Somit hat man nun 2 Seiten des Dreiecks bestimmt.

Dann haben wir die Höhe

h

bestimmt. Ich verstehe nicht wieso wir das folgendermaßen gerechnet haben:

h = \sqrt{{1,03}^{2} - {0,5}^{2}} = 0,9 m

Somit ist

A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0,9 = 0,45 m^{2}

Es wäre nett wenn jemand die paar Fragen beantworten und erläutern könnte.
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

gorgar aktiv_icon

15:08 Uhr, 28.10.2013

hi

"Zunächst haben wir die Spitze des Turmes bestimmt mit dem Punkt E (1,5\1,5\4,25). Ich verstehe nicht wie man rechnerich auf diesen Punkt kommen soll."

E = (x1, x2, x3) = (1.5,1.5,4.25)
die koordinate x1 bekommst du indem du den mittelwert der x1-koordinaten der kollinearen vektoren A und D ausrechnest: x1 = (2+1)/2 = 1.5
die koordinate x2 bekommst du indem du den mittelwert der x2-koordinaten der kollinearen vektoren D und C ausrechnest: x2 = (1+2)/2 = 1.5
die koordinaten x1, x2 sind mit (1.5,1.5,0) die koordinaten des mittelpunktes der grundfläche und damit auch der turmspitze in der x1/x2-ebene.
die höhe des turms ist mit 4.25m angegeben, das ist die koordinate x3.
und damit sind die koordinaten der turmspitze E = (1.5,1.5,4.25)

"Dann haben wir die Höhe h bestimmt. Ich verstehe nicht wieso wir das folgendermaßen gerechnet haben:..."

die höhe habt ihr mit dem satz des pythagoras bestimmt. die

0, 5^{2}

in der wurzel ist einfach nur die halbe länge des vektors AB. das kann man machen weil das dreieck ABE gleichschenklig ist.

aventuriny aktiv_icon

15:26 Uhr, 28.10.2013

Vielen Dank für die Antwort, ich hab soweit verstanden was du meinst...

Aber was heißt kollinear? Und wieso sind ausgerechnet die x1-Koordinaten der Vektoren A und

D

kollinear zu der x1-Koordinate von E? Beziehungsweise wieso sind die x2-Koordinaten von

D

und

C

kollinear zu E? Also ich kann mir das nicht wirklich vorstellen.

Heißt es also, dass AE minus die halbe Strecke von AB gleich die Höhe aus dem Winkel

E

zur gegenüberliegenden Seite angibt? Ist das bei allen gleischschenkeligen Dreiecken so? Hätte man die Höhe auch irgendwie anders berechnen können? Weil ich das nicht gerade einleuchtend finde.

gorgar aktiv_icon

15:58 Uhr, 28.10.2013

"Aber was heißt kollinear?"
kollinear sind die punkte D,C und D,A. das heißt nicht mehr als das die punkte D und C auf einer linie liegen, sowie das die punkte D und A auf einer linie liegen.

"Und wieso sind ausgerechnet die x1-Koordinaten der Vektoren A und D kollinear zu der x1-Koordinate von E? Beziehungsweise wieso sind die x2-Koordinaten von D und C kollinear zu E? Also ich kann mir das nicht wirklich vorstellen."

das habe ich doch gar nicht geschrieben :(, die punkte sind ja auch gar nicht kollinear.

"Heißt es also, dass AE minus die halbe Strecke von AB gleich die Höhe aus dem Winkel E zur gegenüberliegenden Seite angibt?"
Nein.
"Ist das bei allen gleischschenkeligen Dreiecken so?"
Nein.

ich fürchte, du hast mich komplett missverstanden! :(
ihr habt die Längen von AE und AB bestimmt.
AB ist die grundseite des gleichschenkligen dreiecks ABE
die halbe Länge von AB ergibt mit der höhe des dreiecks ABE ein rechtwinkliges dreieck, dessen höhe sich mit dem satz des pythagoras berechnen lässt.

ich hoffe, die skizze wird alle deine fragen klären können.

lg

Femat aktiv_icon

16:33 Uhr, 28.10.2013

vergiss kollinear, das ist eine Frage der Perspektive, ob die auf einer Gerade erscheinen.

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AC, indem du den Mittelwert derer Koordinaten bestimmst.
Resultat ist der Mittelpunkt des Dachbodenquadrates.
Der Punkt

E

liegt genau senkrecht über diesem Punkt, hat also gleiche

x_{1}

und

x_{2}

Koordinaten. Und

x_{3}

ist ja als Höhe vorgegeben.

aventuriny aktiv_icon

17:06 Uhr, 28.10.2013

Gorgar, ich danke dir! Die Skizze hat mir sehr geholfen, ich glaube ich habe es jetzt verstanden.

Satz des Pythagoras:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

\to b^{2} = c^{2} - a^{2}

\to b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

h = b

A E = c

\frac{A B}{2} = a

h^{2} = A E^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}

h = \sqrt{A E^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}}

\to h = \sqrt{{1,03}^{2} - {0,5}^{2}} = 0,9

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

\frac{a 1 + d 1}{2} = x 1

von Punkt

E

\frac{d 2 + c 2}{2} = x 2

von Punkt

E

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Femat, die Berechnung des Mittelwertes ist auch eine gute Idee.

x 1 = \frac{2 + 1}{2} = 1,5

x 2 = \frac{1 + 2}{2} = 1,5

Vielen Dank euch Beiden!

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