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Vektoren - Zwei Punkte m- gerade gleicher Abstand

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Vektor

Bassi113 aktiv_icon

13:12 Uhr, 02.05.2016

Hallo zusammen,

Habe die Punkte

A (3 | 7 | 5

)und

B (5 | 7 | - 3)

gegeben .
Gesucht sind nun zwei Geraden deren Punkte von A und

B

die gleiche Entfernung haben ...komme leider nicht weiter ..

danke schon im voraus

Gruß

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

funke_61 aktiv_icon

13:27 Uhr, 02.05.2016

Hallo,
such zuerst mal den Punkt genau zwischen A und

B

(auf der Strecke

\bar{A B}),

der von A und

B

gleich weit entfernt ist.
;-)

Bassi113 aktiv_icon

13:39 Uhr, 02.05.2016

Das müsste dann "C" sein mit

(4 | 7 | 1) -

kann ich jetzt mit beliebigen Punkten eine Gerade bilden ? Oder muss ich auf etwas achten ?

funke_61 aktiv_icon

13:43 Uhr, 02.05.2016

Den Punkt

C

hast Du korrekt ermittelt.
beschreibe (zB. mit Worten) jetzt bitte die Ebene in der die gesuchten Geraden liegen
;-)

Bassi113 aktiv_icon

13:49 Uhr, 02.05.2016

Das verstehe ich jetzt nicht so ganz mit der Ebene , behandeln Vektoren erst seit knapp einer Woche und bekommen schon die volle Dröhnung ab sry...
Kannst du mir das mal bitte erläutern ?

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13:53 Uhr, 02.05.2016

sorry, wuste nicht, dass Ihr noch keine Ebenen hattet.
Punkt

A (3 | 7 | 5)

und

B (5 | 7 | - 3)

sind gegeben.
Punkt

C (4 | 7 | 1)

liegt genau in der Mitte zwischen den Punkten A und B.
Hattet Ihr schon Geradengleichungen in Vektorform?

Bassi113 aktiv_icon

13:55 Uhr, 02.05.2016

ja die Gleichungen kann ich schon bilden, ist einfach - kann auch sein, dass wir das mit den Ebenen schon hatten, ich es aber einfach nicht als dieses wahrgenommen habe :-D)

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14:01 Uhr, 02.05.2016

ok.
wenn Du dir die Drei Punkte

A, B

und

C

ansiehst, was haben alle drei gemeinsam?

Bassi113 aktiv_icon

14:03 Uhr, 02.05.2016

die 7 auf der

x 2

ebene ?

rundblick aktiv_icon

14:07 Uhr, 02.05.2016

.
"dass wir das mit den Ebenen schon hatten,
ich es aber einfach nicht als dieses wahrgenommen habe !"

hm.. Gelegenheits-Teilnehmer am Unterricht?

und mal ganz vektorfrei

\to

\to

wo liegen in einer Ebene alle Punkte, die von zwei festen Punkten gleich weit entfernt sind?
.. wo ??
und dazu:
" sorry, wuste nicht, dass Ihr noch keine Ebenen hattet."

\Rightarrow

\to

wo liegen im Raum alle Punkte, die von zwei festen Punkten gleich weit entfernt sind ?

.

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14:07 Uhr, 02.05.2016

fast, denn richtig wäre: " 7 auf der

x_{2} -

Achse".

A, B

und

C

liegen also in einer Ebene welche die

x_{2}

-Koordinate 7 besitzt.
Kannst Du Dir vorstellen, dass diese Ebene paralell zur

x_{1} x_{3}

Ebene
(also der Ebene welche durch die

x_{1}

Achse und die

x_{3}

Achse aufgespannt wird)
bei

x_{2} = 7

liegt?

Bassi113 aktiv_icon

14:19 Uhr, 02.05.2016

Ja kann ich noch etwas folgen , könntest Du mir mal die Lösung veranschaulichen, glaube dann komme ich eher dahinter, als wenn ich nur am herum raten bin...

@Rundblick - nein kein Gelegenheitsteilnehmer , kann mich im Unterricht nicht konzentrieren, und bringe mir daher das meiste zuhause selbst bei !

funke_61 aktiv_icon

14:25 Uhr, 02.05.2016

hm,
veranschaulichen (bzw. räumlich vorstellen) musst Du Dir das schon selbst.
Wenn Du mit meinen bisherigen Worten nicht zurecht kommst, dann muss ich leider aufgeben und mich hier zurückziehen.

Nebenbei finde ich in Rundblicks Beitrag die Letzte Zeile gar nicht schlecht:
"wo liegen im Raum alle Punkte, die von zwei festen Punkten gleich weit entfernt sind ?"
Bitte beantworte mal diese Frage.

Bassi113 aktiv_icon

14:34 Uhr, 02.05.2016

Nein, finde deine Methode schon super , so war das nicht gemeint !

Wo alle Punkte in einem Raum liegen, welche von 2 Punkten gleich weit entfernt sind ? Da gibt es normalerweise nur einen Punkt im Raum oder ?

funke_61 aktiv_icon

14:39 Uhr, 02.05.2016

nein da gibt es nicht nur einen . . da gibt es unendlich viele Punkte ;-)
Wie lange sind denn die Ortsvektoren der Punkte A und

B

?
Versuch also mit anderen Worten mal bitte, die Beträge der Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

zu ermitteln (bitte keine Wurzel ziehen, sondern als Zahl unter der Wurzel darstellen).
;-)

Bassi113 aktiv_icon

14:49 Uhr, 02.05.2016

Okay,
der Vektor a ist Wurzel aus

83

lang
der Vektor

b

ist genau so lang
kann man da jetzt eine gerade durch den Ursprung bilden ?

funke_61 aktiv_icon

14:52 Uhr, 02.05.2016

genau,
eine der gesuchten Geraden kann man durch den Ursprung gehen lassen, denn Du hast gerade festgestellt, dass der Ursprung von Punkt A und von Punkt

B

gleich weit entfernt ist.
Kannst Du diese Geradengleichung nun (als Parameterform) aufstellen?

Bassi113 aktiv_icon

14:55 Uhr, 02.05.2016

geht das so :

x = (0 | 0 | 0) + r (4 | 7 | 1)

funke_61 aktiv_icon

15:00 Uhr, 02.05.2016

ja,

g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{matrix})

wäre die korrekte Form für die "erste Gerade". Siehe auch

http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Jetzt brauchst Du noch eine "zweite Gerade"

g_{2}

.
Irgendeine Idee?
Vielleicht liest Du Dir nochmal alles Durch, was hier oben schon an Beiträgen vorhanden ist . . .

Bassi113 aktiv_icon

15:05 Uhr, 02.05.2016

Ok Super, hängt die zweite Gerade evtl mit der

x 2

ebene , also der 7 zusammen ?

funke_61 aktiv_icon

15:12 Uhr, 02.05.2016

jein,
erstmal gibt es keine "

x_{2}

Ebene " wie ich oben schon geschrieben habe!
Du musst anfangen, Dir Ebenen im Raum vorzustellen!
nimm dazu zB. ein Stück Karton oder Ähnliches, wenn Du es im Kopf nicht schaffst.

Aber aus der Tatsache, dass alle Punkte

A, B

und

C

die

x_{2}

-Koordinate 7 haben,
kann man sich einen Richtungsvektor für eine zweite Gerade

g_{2}

basteln. . .
Aber es hilft eigentlich nichts, wenn Du Dir das nicht vorstellen kannst.

Bassi113 aktiv_icon

15:19 Uhr, 02.05.2016

vorstellen kann ich mir das schon, daran hat es bei mir noch nie gelegen

- -

ich stehe aber trotzdem irgendwie auf dem schlauch, könnte mir nur noch Senkrechten zur Strecke AB vorstellen, im Punkt

C,

die dann noch den gleichen Abstand hätten, weiß leider jedoch nicht wie man diese bildet

funke_61 aktiv_icon

15:30 Uhr, 02.05.2016

So ist es.
Also nochmal in meinen Worten:
Alle "Senkrechten" zur Strecke

\bar{A B}

im Punkt

C

sind "Geraden".
Jeder Punkt auf einer dieser Geraden ist jeweils von den Punkten

A

und

B

gleich weit entfernt.
(Und alle diese "Geraden" bilden eine Ebene, deren Punkte gleich weit von

A

und

B

entfernt sind!)
Jetzt such noch eine "zweite Gerade" in dieser Ebene . . .

Wenigstens den "festen Punkt" der "zweiten Geradengleichung in Parameterform" solltest Du angeben können . . .
;-)

Bassi113 aktiv_icon

15:35 Uhr, 02.05.2016

naja da komme ich nun wirklich nicht weiter, kannst mir das mal bitte zeigen ?

Bleibt der Richtungsvektor immer gleich ?

funke_61 aktiv_icon

15:37 Uhr, 02.05.2016

nein, der Richtungsvektor kann in verschiedene Richtungen zeigen
(denn in einer Ebene liegen viele Richtungsvektoren).
Wir waren beim "festen Punkt" oder "Aufpunkt" oder "Aufhängepunkt" der "zweiten Geradengleichung in Parameterform".
Welcher könnte das denn sein?

Bassi113 aktiv_icon

15:42 Uhr, 02.05.2016

der feste Punkt müsste ja normal die