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Vektoren auf Erzeugendensystem prüfen

Universität / Fachhochschule

Tags: Determinant, Erzeugendensystem, Vektorraum

 
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Milenth

Milenth aktiv_icon

18:39 Uhr, 09.01.2019

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Hallo zusammen,

wir haben drei Vektoren des Vektorraumes 3 erhalten und sollen prüfen, ob sie ein Erzeugendensystem von 3 bilden.

(512-17),(080) und (-25085).

Ich weiß zwar, was ein Erzeugendensystem ist, habe allerdings keine Idee, wie ich hierbei am besten Anfangen soll.

Kann mir bitte jemand von euch dabei helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Milenth

Milenth aktiv_icon

20:28 Uhr, 09.01.2019

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Ich habe mich mal ein wenig weiter informiert. Mein folgender Lösungsansatz wäre, dass ein Erzeugendensystem mit dem Vektorraum 3 mindestens 3 linear unabhängige Vektoren benötigt (z.B. mindestens die Einheitsvektoren).

Da es hier drei Vektoren sind, müssen sie alle linear unabhängig sein.

Als schnellen Beweis würde ich die Determinante berechnen. Wenn die Determinante =0 ist, ist mindestens ein Vektor durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar.

Dadurch würde ich dann Schlußfolgern, dass es sich dabei um kein Erzeugendensystem handelt.

Wäre das soweit korrekt?
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e60lukas

e60lukas

20:46 Uhr, 09.01.2019

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Hallo,
kurz und knapp: Bisher passt alles.
Grüße
EL
Milenth

Milenth aktiv_icon

21:02 Uhr, 09.01.2019

Antworten
Okay, perfekt! Die Determinante ist 0. Für das LGS erhalte ich unendlich viele Lösungen, solange x3 ist.

Daher gibt es mindestens einen Vektoren, der durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist, richtig?

Dadurch kann es sich hierbei um kein Erzeugendensystem handeln.

Wenn ich jetzt 4 Vektoren 3 erhalten hätte, kann ich anhand des Fundamentallemmas sagen, dass es sich hierbei um linear abhängige Vektoren handelt.

Wie würde ich herausfinden, welcher Vektor durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist? Vorausgesetzt, dass man es nicht mit dem Auge sieht.

Viele Grüße!

Edit:
Mein Ansatz wäre natürlich mit Hilfe eines der Determinante und einem LGS.
(12),(31) und (24)

Durch das Fundamentallemma sehen wir, dass es sich hierbei um linear abhängige Vektoren handeln muss, da die Menge an Vektoren (4) >2 (Vektorraumgröße)

Ich bilde nun ein LGS aus (12) und (31) und setze es gleich (24). Dabei erhalte ich, dass x1=2 und x2=0 ist.
Sprich: Vektor 3 ist das doppelte von Vektor 1. Jetzt kann ich die Determinante von Vektor 1 und Vektor 2 errechnen und erhalte einen Wert ≠0.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:36 Uhr, 10.01.2019

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Hallo
"Wie würde ich herausfinden, welcher Vektor durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist? Vorausgesetzt, dass man es nicht mit dem Auge sieht."
es muss nicht ein Vektor sein, der durch genau die 3 anderen linear kombiniert werden kann. einfachster Weg:
schreibe die 4 Vektoren als Matrix, mit Gauss erzeuge eine Dreiecksmatrix, dabei wird mindestens eine Zeile 0, Oder auch 2) die kannst du also aus den anderen linear kombinieren,
wenn du die Vektoren in anderer Reihenfolge schreibst findest du meist 3 andere, die Lin unabhängig. sind. es sei denn einer ist direkt ein Vielfaches eines anderen, den kann man gleich "wegwerfen! wie dein (2,4)=2(1,2)
Gruß ledum


Milenth

Milenth aktiv_icon

21:42 Uhr, 10.01.2019

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Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Ist vielleicht etwas ganz offensichtlich, aber ich komme gerade nicht drauf:

Gegeben sind die 3 Vektoren (123),(345) und (246)
Ganz offensichtlich ist 2(123)+0(345)=(246)

Aber ich komme gerade einfach nicht drauf, wie ich das mathematisch lösen kann. Ein LGS würde in diesem Fall nur bei 3 Variablen gehen, hier habe ich aber nur zwei.

Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:55 Uhr, 11.01.2019

Antworten
Hallo
dass der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist, muss man nur hinschreiben, wenn man es sieht.
allgemein, also wenn es nicht so offensichtlich ist schreibt man die Vektoren als Zeilen einer Matrix, die man mit Gauss umformt, die Zeilen die 0 werden sind dann linear abhängig von den anderen.
aber das musst du hier nicht, wenn etwas zu offensichtlich ist! Auch einfache Tatsachen sehen ist Mathematik nicht nur langes rumrechnen!
Gruß ledum
Frage beantwortet
Milenth

Milenth aktiv_icon

11:36 Uhr, 12.01.2019

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Stimmt, ich habe nicht daran gedacht, ein LGS daraus zu bilden und gleich 0 zu setzen. Anschließend erfahre ich mit dem Gauß-Verfahren, dass ich für das Skalar vom 3. Vektor jeden Wert einsetzen kann.

Vielen Dank! :-)