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Vektoren gepaart mit Zugkräfte

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

brunolabadia aktiv_icon

19:48 Uhr, 19.04.2010

Hallo Leute...

Mal wieder eine Aufgabe an der ich nicht weiter komme!
Hier die Aufgabenstellung:

Im Punkt

P 0 (1,3, - 1)

ist ein Haken befestigt, von dem die 3 Seile

S 1, S 2

und

S 3

nach Punkten

P 1 (2,1,1), P 2 (- 7,4,3)

Bzw.

P 3 (- 1,9,2)

gespannt sind. In den Seilen treten Zugkräfte mit folgenden Beträgen auf:

S 1 : 21 \cdot 10^{4} N

S 2 : 9 \cdot 10^{4} N

S 3 : 14 \cdot 10^{4} N

Wie groß ist die in

P 0

angreifende Gesamtkraft Fres (Betrag und Richtung)?

Meine Vorgensweiße war:

Bildung der Vektoren:

P 0 P 1 = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

P 0 P 2 = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

P 0 P 3 = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

Fres

= P 0 P 1 + P 0 P 2 + P 0 P 3

Fres

= (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 9 \end{matrix})

Kann ich das nun irgendwie mit den Zugkräften koppeln?

Vielen Dank im vorraus
Gruß
Brunolabadia

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

MBler07 aktiv_icon

19:56 Uhr, 19.04.2010

Hi

sieht soweit gut aus.
Normiere die Vektoren VOR der Addition. Dann kannst du sie mit den Beträgen der Kräfte multiplizieren. Das Ergebnis ist ein Vektor mit der richtigen Richtung und einer Länge entsprechend der wirkenden Kraft.

Grüße

brunolabadia aktiv_icon

20:22 Uhr, 19.04.2010

Hmmm?
Sorry komme leider immer noch nicht drauf:
Du meinst:

P 0 P 1 = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 21 . 10^{4}

P 0 P 2 = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 9 \cdot 10^{4}

P 0 P 3 = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 14 \cdot 10^{4}

\to

Fres

funktioniert leider nicht ganz...
Oder wie meintest du das?

MBler07 aktiv_icon

20:24 Uhr, 19.04.2010

Weist du, was mit normieren von Vektoren gemeint ist? Bzw. welche Eigenschaften ein normierter Vektor hat?
Falls du das alles bejahen kannst: Weist du, wie man ihn berechnet?

brunolabadia aktiv_icon

20:38 Uhr, 19.04.2010

Nein, sorry, erklärs mir bitte....

MBler07 aktiv_icon

20:42 Uhr, 19.04.2010

Ein normierter Vektor hat dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, aber den Betrag (also die Länge) eins.

Formel:

{\vec{n}}_{a} = \frac{1}{| a |} \cdot \vec{a}

Wobei a der gegebene Vektor und

n_{a}

der normierte Vektor von a ist.

Kommt dir das bekannt vor? Kannst du das anwenden?

brunolabadia aktiv_icon

21:10 Uhr, 19.04.2010

Achso okay, der normierte vektor ist der Einheitsvektor... okay, sorry, wusste ich nicht!
So daraus folgt nun:

na

= (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

= (\begin{matrix} \frac{6}{\sqrt{53}} \\ \frac{1}{\sqrt{53}} \\ \frac{4}{\sqrt{53}} \end{matrix})

und
nc

= (\begin{matrix} - \frac{2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end{matrix})

und dann:
na

+

nb+ nc = Fres

\to

Fres Komponente

x \cdot 21 \cdot 10^{4}

y \cdot 9 \cdot 10^{4}

z \cdot 14 \cdot 10^{4}

???
Sorry versteh es immer noch nicht!

MBler07 aktiv_icon

21:15 Uhr, 19.04.2010

Die Reihenfolge stimmt nicht. Liegt evtl. an meiner etwas unpräzisen Formulierung.

Vorgehensweise:
Erstellen der Vektoren

P_{0} P_{1}, . .

. (Richtung ermitteln)
Normieren dieser Vektoren (Länge auf 1 setzen)
Multiplizieren der normierten Vektoren mit den entsprechenden Kräften (Die Länge der Vektoren entspricht damit der Kraft)
Addieren der sich ergebenden Vektoren aus dem letzten Schritt

Nachvollziehbar?

brunolabadia aktiv_icon

21:42 Uhr, 19.04.2010

okay, der Ablauf nochmal in anderer schreibweiße:

P 0 P 1 \to a = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \to

na (Einheitsvektor) bilden

\to

\cdot 21 \cdot 10^{4} \to a

(neu)

P 0 P 2 \to b = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \to

nb (Einheitsvektor) bilden

\to

\cdot 9 \cdot 10^{4} \to b

(neu)

P 0 P 3 \to c = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \to

nc (einheitsvektor) bilden

\to

\cdot 14 \cdot 10^{4} \to c

(neu)
a (neu)

+ b

(neu)

+ c

(neu) = Fres

Ich hoffe du verstehst mein Auschrieb, denn deinen versteh ich leider nicht....

: - (

Stimmt das so?

MBler07 aktiv_icon

21:53 Uhr, 19.04.2010

OK. Was verstehst du denn nicht? Was sollte ich ändern?

Dein Vorgehen ist richtig und solte zum richtigen Ergebnis führen.

brunolabadia aktiv_icon

21:59 Uhr, 19.04.2010

Nein nein, das Problem liegt nicht bei dir!!! du hast mir sehr gut geholfen!
Ich bin bei mathematischen Erklärungen nur etwas schwer von Begriff

: - 0

Danke für deine Mühen und dein Verständniss!
Habs die Vorgehensweiße jetzt kapiert :-)
Einen schönen Abend...
Gruß
brunolabadia

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