Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vektoren gesucht mit gegebenem Vektor und Winkel

Vektoren gesucht mit gegebenem Vektor und Winkel

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

ScientistSalarian aktiv_icon

23:10 Uhr, 13.08.2015

Ich suche eine Lösung für diese Aufgabe:

gegeben ist der Vektor

a = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

Und ich soll nun die Vektoren suchen welche mit diesem hier den Winkel 45° einschließen.
Zeichnerisch habe ich raus

(\begin{matrix} 1 \\ o \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})

aber habe keine Ahnung wie das rechnerisch gelöst werden kann

: (

Ich weiß nur wi eman den Winkel zwischen 2 Vektoren berrechnet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

23:13 Uhr, 13.08.2015

Idealerweise setzt man bei Winkelfragen die Polarform an.

"Ich weiß nur wi eman den Winkel zwischen 2 Vektoren berrechnet."

Na wie denn? Wenn Du eine Formel hast, setze die bekannten Werte ein und löse nach den unbekannten auf.

-Wolfgang-

02:09 Uhr, 14.08.2015

Hallo Maelon, ich gehe davon aus, du meinst die Formel

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (\vec{a}, \vec{b})

\Leftrightarrow (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot

cos(45°)

\Leftrightarrow x - y = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

\Leftrightarrow x - y = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

[

Quadrieren]

\Leftrightarrow x^{2} - 2 x \cdot y + y^{2} = x^{2} + y^{2}

\Leftrightarrow - 2 x \cdot y = 0

\Leftrightarrow x = 0

oder

y = 0

Alle Vektoren der Form

(\begin{matrix} 0 \\ a \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix})

mit beliebigem

a \in ℝ

schließen also mit

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

einen Winkel von 45° ein, was man in einer Zeichnung auch sofort einsieht.

Gruß Wolfgang

rundblick aktiv_icon

10:53 Uhr, 14.08.2015

.
" Alle Vektoren der Form

(\begin{matrix} 0 \\ a \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix})

mit beliebigem a∈ℝ

. .

.

...was man in einer Zeichnung auch sofort einsieht."

na klar Wolfgang,

\to

mit einer Zeichnung siehst du sofort, dass deine
Behauptung

f a l s c h

ist, du musst das halt nur noch
auch einsehen ..

.

-Wolfgang-

13:22 Uhr, 14.08.2015

Danke für den Hinweis:

Das "<=>" beim Quadrieren ist falsch. Es ist eine Probe erforderlich.

Daraus ergibt sich

(\begin{matrix} 0 \\ a \end{matrix})

mit a aus IR-

oder

(\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix})

mit a aus IR*

Gruß Wolfgang

ScientistSalarian aktiv_icon

17:15 Uhr, 14.08.2015

hmm, ich kann ehrlich gesagt diesen Lösungsweg nicht recht nachvollziehen.
WIr gehen ja von unbekannten Vektoren aus... für diese muss es eine gewisse Gleichung geben; kann diese nicht analog zu der Formel

{cos}^{- 1} α =

(x(Vektor)*y(Vektor))/(IIxII

\cdot

IIyII) erfolgen?
wir haben also eine unbekannten Vektor

u = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

So und nun muss dafür eine Gleichung geben, welche dann die Werte für die Vektoren liefert. Und das ist die von Wolfgang? Mir scheint das irgednwie so "aus der Luft gegriffen" :-)

ledum aktiv_icon

18:46 Uhr, 14.08.2015

Halllo
wie rechnest du denn den Winkel zwischen 2 Vektoren aus? doch wohl mit der "aus der Luft gegriffenen Formel" von Wolfgang, nur nach

α

oder cos(˜alpha) umgestellt .
also wenn du sagst wie du den Winkel zwischen 2 gegebenen Vektoren ausrechnest, sag ich dir wie

W

auf die formel kommt.
Gruss ledum

ScientistSalarian aktiv_icon

20:31 Uhr, 14.08.2015

Das wäre hier zB im 2 dimensionalem Raum:

{cos}^{- 1} α = x 1 \cdot x 2 + y 1 \cdot

y2/Betrag von Vektor 1 mal Betrag von Vektor 2 .

also muss ich erstmal im Zähler

x 2

und

y 2

finden und im Nenner den ganzen Vektorbetrag. Ich bin aber sehr schlecht in Lösung von solchen Gleichungen. Wenn mir das nicht jemand erklärt, wie man hier vorgeht, dann kann ich es nicht nachvollziehen.

-Wolfgang-

20:46 Uhr, 14.08.2015

Für alle Vektoren

\neq \vec{0}

kann man den Winkel mit der Schulformel

cos (∠ \vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

ausrechnen.

Multiplizierst du diese mit dem Nenner des Bruchs, kommst du auf meine Ausgangsgleichung.

[

bei der Korrektur muss aber statt IR* IR+ stehen.]

Gruß Wolfgang

rundblick aktiv_icon

21:14 Uhr, 14.08.2015

.

"

c o s^{- 1}

α=x1⋅x2+y1⋅ y2/Betrag von Vektor 1 mal Betrag von Vektor 2 . "

... ... ... ... ... . .

. was soll dieser Unfug?

\to

was meinst du mit dem Exponenten

(- 1)

beim

cos

\to

ist dir dies bekannt

: . .

. es hat jemand Klammern erfunden

\to

.. und wenn zB eine Summe durch etwas geteilt werden soll, dann .. usw,usw..

Vorschlag:

schlag nach, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird
(google: Skalarprodukt)
Tipp: Wolfgang hat schon zaghaft versucht, dir das zu verkaufen

du kannst in die gefundene Formel die beiden bekannten Komponenten deines
gegebenen Vektors

\vec{a}

und den Winkel 45° einsetzen..
und hast dann nur noch die beiden Komponenten des zweiten Vektors zu berechnen.

und Wolfgang hat inzwischen ja auch brauchbare Ergebnisse angeboten
denk über den vorgekauten Lösungsvorgang nun selbst etwas nach..

fertig
.

-Wolfgang-

21:46 Uhr, 14.08.2015

@ Rundblick:

{cos}^{- 1}

ist die allgemein bekannte Bezeichung für die Umkehrfunktion von

cos

Freue mich immer, wenn ich dir helfen kann!

Und nochmal ausdrücklichen Dank für den (inzwischen vielfachen!) Hinweis auf den Fehler, der mir nachts um

2 : 09

Uhr unterlaufen ist.

Gruß Wolfgang

rundblick aktiv_icon

22:05 Uhr, 14.08.2015

{cos}^{- 1}

α =x1⋅x2+y1⋅ y2/Betrag von Vektor 1 mal Betrag von Vektor 2 .

@ Wolfgang:

schön, dass du weisst, wie Umkehrfunktionen bezeichnet werden können..

so darf ich dir nun zur nächsten Erkenntnis verhelfen

\to

bei obiger Darstellung sollte links wohl kaum die Umkehrfunktion,
sondern schlicht der einfach nur friedliche cos(α) höchstselbst herumstehen..
wetten?
Also deshalb: was soll da das "hoch (-1)" ?

Freue mich immer, wenn ich dir helfen kann!

.

Specter aktiv_icon

22:11 Uhr, 14.08.2015

kann man das denn nicht mit der Normierung erklären oder Orthonormalsystem? :-)

Der Betrag, also wie lang der Vektor ist, das spielt doch wohl eher eine untergeordnete Rolle. Also kann man die Formel entsprechend modifizieren oder irre ich mich da?
Der Fragesteller hat sich offensichlich bei deser Formel festgehakt und möchte es durch entsprechendes "Umstellen" auf die Lösung kommen, ohne mit den Hintegründen vertraut zu sein.

abakus

22:29 Uhr, 14.08.2015

"ist die allgemein bekannte Bezeichung für die Umkehrfunktion"

Ist es nicht. Es ist nur das, was Taschenrechnerproduzenten an Stelle der eigentlich richtigen Bezeichnung arccos auf oder unter die Taste drucken.

-Wolfgang-

22:59 Uhr, 14.08.2015

Ist es doch:

f^{- 1}

bezeichnet allgemein die Umkehrfunktion von

f

.

warum sollte es bei der Funktion

cos

anders sein, auch wenn es einen Extranamen dafür gibt?

Vielleicht sollte man aber vermeiden, weiter durch Diskussion über Unwichtiges dem Fragesteller das Auffinden der Lösung seines Problems zu erschweren:

02 : 09

Uhr mit Korrektur

13 : 22

und Hinweis

20 : 46

Wolfgang

rundblick aktiv_icon

23:06 Uhr, 14.08.2015

" Ist es nicht.."

es ist erfreulich, Gast62, dass es noch Kenner gibt, die - wie du - noch
wissen, dass gewisse Funktionen sich den Luxus leisten, für die zugehörende
Umkehrfunktion einen eigenen Namen zu haben.

alle nicht so priviligierten bijektiven Funktionen

f : A \to B

begnügen sich jedoch
gezwungenermassen damit, ihre Umkehrfunktion mit

f^{- 1} : B \to A

zu bezeichnen.

Ein durchschnittlich Gutwilliger könnte deshalb zwar den TR-TastaturBeschriftern
den Fauxpas grosszügig durchgehen lassen - Bedenken kämen nur auf, wenn zB Lehrer
die eigentlich richtige Bezeichnung nicht kennen würden und stillschweigend im
falschen Chor mitsingen ..

Und nochmal:

{cos}^{- 1} α

als Umkehrfunktion wurde nur von Wolfgang - am Thema
der hier vorliegenden Aufgabe vorbei - ins Spiel gebracht. DerTerm war aber eh ja
falsch verwendet... leider , leider.. siehe oben

\to 22 : 05

Uhr,

14.08.2015

Specter aktiv_icon

23:13 Uhr, 14.08.2015

Ich finde immer noch dass man es vielelicht durch den Begriff der "Normierung" versuchen sollte ;-)

Mit

u = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

geht man erstmal von

\frac{x - y}{\sqrt{2}}

aus und hat dann:

\Rightarrow 1 = x - y

\Rightarrow x = 1 + y

Über Einsetzungsverfahren gelangt man eventuell zu einem einheitlichem Term mit einer Variable, welche man dann auflösen kann.
Ich kann das nicht so gut dass ich es hier so erklären könnte, da müsste mal ein Experte dran. :-P)

-Wolfgang-

23:46 Uhr, 14.08.2015

Wollt ihr hier einem Fragsteller helfen, der inzwischen wohl bei dem ganzen Gelaber sowieso die Lust verloren hat, uns zuzuhören, oder euch mathematisch selbst verwirklichen?

Wolfgang

@Rundblick: Merkst du nicht, dass du dich mit deinen Schleimereien, Stänkereien und Unterstellungen lächerlich machst?

@Spector: Lies dir mal die Antworten des Fragestellers durch!
Glaubst du wirklich, dass er deinen Lösungsvorschlag besser versteht?

UND NOCH EINMAL FÜR DEN FRAGESTELLER:

Die komplette Lösung findest du

02.09

Uhr mit Korrektur

13 : 22

und Hinweis

20 : 46

Wenn du dazu noch Fragen hast, melde dich!

Gruß Wolfgang

ScientistSalarian aktiv_icon

03:17 Uhr, 15.08.2015

Jaa, bin noch da :-D) Find recht amüsant wie das hier so abgeschweift ist.

Das mit der Normierung habe ich mir auch nochmal durchgelesen. Das scheint Sinn zu ergeben, es gibt ja keine absolute Lösung, sondern lediglich Vielfache von einem kleisnten (normierten) Wert, so wie ich das sehe. Danke für die Mühen, ist echt super von euch. :-)

rundblick aktiv_icon

17:45 Uhr, 16.08.2015

.
@Wolfgang

aus gegebenem Anlass versuche ich eine Klarstellung zu
"... lächerlich machst? "

10 : 53

Uhr,

14.08.2015 \to

mache dich auf einen Fehler aufmerksam

\to

du bedankst dich artig und schaffst es im zweiten Anlauf,
die Angelegenheit fehlerfrei anzubieten.
Ich bestätige dem Fragesteller dass nun alles richtig sei

21 : 46

Uhr,

14.08.2015

du registrierst das leider als " vielfachen!
Hinweis auf den Fehler"

Im gleichen Beitrag bringst du - statt einfach nur zu bestätigen, dass ein
cos^(-1)..im Beitrag des Fragestellers klar falsch ist - völlig unnötig dein
grosses Wissen über Umkehrfunktionen ins Spiel

und beschwerst dich dann in deinem Beitrag um

22 : 59

Uhr,

14.08.2015

über die von dir ausgelöste Kontroverse über Umkehrfunktionen: Zitat->
"Vielleicht sollte man aber vermeiden, weiter durch Diskussion über Unwichtiges
dem Fragesteller das Auffinden der Lösung seines Problems zu erschweren"

und am Schluss erdreistest du dich am

23 : 46

Uhr,

14.08.2015

zu "lächerlichen"
Pöbeleien..

Positiv halt nochmal: Dein Beitrag vom

02 : 09

Uhr,

14.08.2015

mit den beiden
späteren kleinen Korrekturen war tadellos - der Rest .. na ja.
Fehler machen wir alle - (ausser Lehrer, die sich wichtig nehmen?)
.

-Wolfgang-

19:23 Uhr, 16.08.2015

@Rundblick: (Entschuldigung an alle anderen Leser für die nervigen Posts, aber ich kann ihm einfach nicht das letzte Wort überlassen, es sei denn, es wäre ein Angebot, sich gegenseitig in Ruhe zu lassen.)

Gut, dass du nicht den Nickname "Überblick" gewählt hast, denn der fehlt dir!

Was nützt es, wenn du in DEINER(!) Zusammenfassung deine süffisanten Kommentare verschweigst und im letzten Satz gleich wieder eine UNTERSTELLUNG anbringst?

Merkst du so etwas wirklich nicht?

Ist es wirklich so abwegig, wenn man nach mehreren vom Thema wegführenden Posts dem Fragesteller noch einmal aufzeigt, wo er die Lösung (mit Korrektur meinerseits)
findet, die du erfreulicherweise inzwischen von "brauchbar" zu "tadellos" befördert hast.

Das war doch ein brauchbarer, tadelloser Ansatz! Bleiben wir doch einfach dabei:

Wir weisen uns ggf. ganz sachlich auf eventuelle Fehler hin und bedanken uns freundlich - es muss ja nicht gleich "artig" sein - für den Hinweis - ganz ohne jeden überflüssigen Kommentar.

Wie du selbst sagst: Fehler machen wir alle (ABER DANN FEHLTE DER DICKE PUNKT!)

ScientistSalarian aktiv_icon

00:36 Uhr, 17.08.2015

Genug! Danke... aber ich glaube ich habe jetzt genug gelsen.
Ich nehme diesen Lösungsweg und Worte von Wolfgang mal gern auf die Goldwaage; habe gedacht ich könnte hier vielleicht nochmal das mit der "Normierung" was Specter angespriochen hat "aus der Nase ziehen" aber ich glaube das reicht erstmal :-) .Ich werd mich wohl erstmal damit beschäftigen.

1249728

1249439

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?