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Vektoren im Koordinatensystem

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Einheitsvektor

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10:42 Uhr, 05.03.2011

Hallo
wir haben in MAthe gerade mit dem Thema Vekoren begonnen und ich hab irgendwie noch nicht so richtig den Durchblick

= (

Als die Aufgabe:
Die Strecke AB mit

A (2, - 3,12)

und

B (6,4,8)

wird über den Punkt

B

Hinaus um 3 Längeneinheiten bis zum Punkt

C

verlängert. ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes

C

Hinweis: Nutzen sie zur Berechnung den Einheitsvektor.

Also mein Ansatz war:
Der Vektor AB=

(4,7, - 4)

die Zahlen aber untereinander geschrieben (weiß nicht wie das hier geht.

ja weiter weiß ich leider nicht...

Über eine schnelle Antwort wär ich sehr dankbar

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Vektorprodukt

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10:46 Uhr, 05.03.2011

jetzt musst du den gefundenen vektor nehmen und auf die laenge eins bekommen...

das nennt sich normieren...

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11:25 Uhr, 05.03.2011

Und wie mache ich das??

Und was mache ich wenn ich das auf 1 angeglichen habe???

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11:58 Uhr, 05.03.2011

einen vektor normieren kannst du, indem du durch den betrag des vektors teilst.

also

\frac{\vec{v}}{I v I}

und den betrag erhaelst du ueber

I

v I = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}

das ist jetzt ein vektor, der in dieselbe richtung zeigt wie

\bar{A B}

und die laenge eins hat. wenn du nun

\bar{A B}

um drei verlaengern willst, wo musst du dann den gefundenen normierten vektor dreimal draufaddieren??

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12:02 Uhr, 05.03.2011

na ich schätze mal ich hab den vektor AB und dann muss ich den jetzt neu entstahndenen nehmen, verdreifachen und dann zum Vektor AB dazu addieren???!

Aber wie addiere ich Vektoren??
Sorry aber wir haben gerage erst mit dem thema angefangen und ich hab noch keinen Plan

= (

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12:11 Uhr, 05.03.2011

genau... aber musst du noch den punkt A draufaddieren, weil das der startpunkt ist.

addieren von vektoren ist ganz einfach

(\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{matrix})

also einfach komponentenweise addieren... vervielfachen ist auch einfach

c \cdot (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c \cdot a_{x} \\ c \cdot a_{y} \\ c \cdot a_{z} \end{matrix})

hier also jede komponente mit dem faktor multiplizieren.

bei vektoren musst du dir generell einfach klar machen, dass du mit pfeilen rechnest. du musst also immer die richtigen pfeile finden und aneinanderreihen, damit du zum gesuchten ergebnis kommst. anreihen von pfeilen ist dasselbe wie vektoren addieren.

bei unserer aufgabe nimmst du also den Pfeil der auf den punkt A zeigt. von da aus gehst du mit dem pfeil

\bar{A B}

zum punkt B. von da aus gehst du mit unseren "einser" vektor dreimal weiter und landest bei C.

alternativ loesung

nimm gleich den pfeil, der auf den punkt

B

zeigt. gehe von da aus dreimal mit dem "einser" vektor zum punkt C.

mach dir ne skizze, dann wird alles gleich viel anschaulicher.

lg

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12:16 Uhr, 05.03.2011

das klingt ja alles ganz logisch

aber wie komme ich von dem erhaltenen vektor dass auf punkt C??

Kannst du mir vlt das endergebnis sagen oder auch zwischenergebnisse, damit ich mein ergebnis schrittweise vergleichen kann??

Wäre echt nett

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12:23 Uhr, 05.03.2011

erstmal... wie lautet denn der normierte vektor?

dann nimm den Pfeil, der auf den Punkt A zeigt. addier darauf den Pfeil

\bar{A B}

. dann addier dreimal den normierten vektor... das ergebnis ist Punkt C.

versuchs mal... und zeig wie weit du kommst...

tip; vektoren schreibt man so hier im forum

"((x)

, (y),

(z))"

wird ohne den anfuehrungszeichen zu

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

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12:48 Uhr, 05.03.2011

Also meiner meinung nach heißt der nomierte Vektor: 1/Wurzel(81)*

(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ - 4 \end{matrix})

Ist das so richtig?

Was meinst du mit dem Pfeil von A?

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12:53 Uhr, 05.03.2011

joo... der normierte vektor ist richtig...

der pfeil der auf den Punkt

A (2, - 3, 12)

zeigt lautet

\vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 12 \end{matrix})

man kann also jeden punkt direkt als vektor interpretieren. das ist der start. von hier aus musst du jetzt die anderen vektoren addieren...

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12:55 Uhr, 05.03.2011

OK das klingt schon wieder logisch

ich werde jetzt mal probieren das ergebnis zu berechen und dann nochmal hier reinschreiben!

Kannst du mir dann sagen ob das richtig ist?

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12:57 Uhr, 05.03.2011

klar...

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12:59 Uhr, 05.03.2011

Also meine Antwort für Punkt